高考数学二轮复习 专题七 随机变量、空间向量教学案 理

专题七 随机变量、空间向量江苏 新高考这两部分内容的教学课时都较多，但高考并非是年年都考，通常是交叉式的隔年考一个内容.但2017年两道必做题一改常规，既考查空间向量在立体几何中应用，又考查概率分布与期望值，既考查运算能力，又考查思维能力.,由于考题属中档题要求，所以不宜过难.立体几何题应当容易建立空间直角坐标系，以计算空间角为主；概率题也是离散型随机变量及其分布列的均值与方差、n次独立重复试验的模型及二项分布这几个基本知识交叉考查.第1课时随机变量与分布列(能力课)常考题型突破离散型随机变量的分布列及其期望例1(2017南通二调)某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数)，演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a.求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望解(1)设“至少演唱1首原创新曲”为事件A，则事件A的对立事件为“没有1首原创新曲被演唱”所以P(A)1P()1.答：该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为.(2)设随机变量x表示被演唱的原创新曲的首数，则x的所有可能值为0,1,2,3.依题意，Xax2a(4x)，故X的所有可能值依次为8a,7a,6a,5a.则P(X8a)P(x0)，P(X7a)P(x1)，P(X6a)P(x2)，P(X5a)P(x3).从而X的概率分布为：X8a7a6a5aP所以X的数学期望E(X)8a7a6a5aa.方法归纳求离散型随机变量问题的四步骤由于离散型随机变量的数学期望、方差是根据其分布列运用相应公式求解，因而解决这种问题的关键是求离散型随机变量的分布列，而分布列是由随机变量及其相应的概率值构成的，所以这类问题主要就是求随机变量取各个值的概率具体步骤如下：(1)明确随机变量的意义及其所有可能的取值x1，x2，；(2)根据事件的种类求随机变量的概率P(Xxi)，i1,2，；(3)写出分布列Xx1x2Pp1p2(这里可用分布列性质：0pi1及p1p2pn1检验是否出错)；(4)根据题目要求计算数学期望E(X)或方差V(X) 变式训练(2017扬州考前调研)某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排生活趣味数学和校园舞蹈赏析两场讲座已知A，B两学习小组各有5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场若A组1人选听生活趣味数学，其余4人选听校园舞蹈赏析；B组2人选听生活趣味数学，其余3人选听校园舞蹈赏析(1)若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析的概率；(2)若从A，B两组中各任选2人，设X为选出的4人中选听生活趣味数学的人数，求X的分布列和数学期望E(X)解：(1)设“选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析”为事件M，则P(M)，故选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析的概率为.(2)X可能的取值为0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以X的概率分布为：X0123P所以X的数学期望E(X)0123. n次独立重复试验的模型及二项分布例2(2017南京、盐城一模)某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布与数学期望E(X)解(1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P1.(2)由题意得XB，P(Xk)Ck5k，k0,1,2,3,4,5.所以X的概率分布为：X012345P所以X的数学期望为E(X)5.方法归纳二项分布的分布列及期望问题求解三步骤第一步，先判断随机变量是否服从二项分布，即若满足：对立性：即一次试验中只有两种结果“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中成功的概率和不成功的概率都保持不变，则该随机变量服从二项分布，否则不服从二项分布.第二步，若该随机变量服从二项分布，还需要通过古典概型或相互独立事件的概率计算公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少.第三步，根据二项分布的分布列列出相应的分布列，再根据期望公式或二项分布期望公式求期望即可. 变式训练(2017扬州期末)为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设数学史、生活中的数学、数学与哲学、数学建模四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；(2)设X为甲、乙、丙三人中选修数学史的人数，求X的概率分布和数学期望E(X)解：(1)甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有4364种不同的选法，记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M，事件M共包含A24个基本事件，则P(M)，所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为. (2)法一：X可能的取值为0,1,2,3，P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的概率分布为：X0123P所以X的数学期望E(X)0123. 法二：甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X为甲、乙、丙三人中选修数学史的人数，则XB，所以P(Xk)Ck3k，k0,1,2,3，所以X的分布列为：X0123P所以X的数学期望E(X)3.期望与方差的应用例3(2017苏州模拟)某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同)，每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n元活动规定：参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止(1)如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n元的概率；(2)若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由解(1)设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元为事件M.则P(M)，即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n元的概率为.(2)参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：先在甲箱中摸球，参与者获奖金可取0，m，mn，则P(0)，P(m)，P(mn)，E()0m(mn).先在乙箱中摸球，参与者获奖金可取0，n，mn，则P(0)，P(n)，P(mn)，E()0n(mn).E()E().当时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大方法归纳利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出科学的决策，其中随机变量的均值的意义在于描述随机变量的平均程度，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关.(1)若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量1，2的均值，当E(1)E(2)时，不应误认为它们一样好，需要用V(1)，V(2)来比较这两个随机变量的偏离程度.(2)若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近.(3)若没有对平均水平或者稳定性有明确要求是，一般先计算均值，若相等，则由方差来确定哪一个更好.若E(1)与E(2)比较接近，且均值较大者的方差较小，显然该变量较好；若E(1)与E(2)比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，即选择较理想的平均水平还是选择较稳定.变式训练某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的概率分布、数学期望及方差；若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由解：(1)当日需求量n16时，y16(105)80；当日需求量n15时，y5n5(16n)10n80.所以y(nN)(2)X所有可能取值为60,70,80，则P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的概率分布为：X607080P0.10.20.7X的数学期望为E(X)600.1700.2800.776，X的方差为V(X)1620.1620.2420.744.答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的概率分布为：Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.Y的方差为V(Y)(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的计算结果可以看出，V(X)V(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然E(X)E(Y)，但两者相差不大故花店一天应购进16枝玫瑰花答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天利润(单位：元)，那么Y的分布列为：Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润故花店一天应购进17枝玫瑰花.概率与其他知识的综合例4(2017南通调研)甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(nN*)局根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛记甲赢得比赛的概率为P(n)(1)求P(2)与P(3)的值；(2)试比较P(n)与P(n1)的大小，并证明你的结论解(1)若甲、乙比赛4局甲赢，则甲在4局比赛中至少胜3局，所以P(2)C4C4，同理P(3)C6C6C6.(2)在2n局比赛中甲赢，则甲胜的局数至少为n1局，故P(n)C2nC2nC2n2n2n2n，所以P(n1).又1，所以，所以P(n)P(n1)方法归纳 本例是二项分布与二项式定理的交汇，其求解的一般思路先利用二项分布求其P(n)和P(n1)，然后利用组合数的性质即可求得，概率还常与数列、函数、不等式、数学归纳法等知识交汇. 变式训练(2017江苏高考)已知一个口袋中有m个白球，n个黑球(m，nN*，n2)，这些球除颜色外完全相同现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，mn的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k1,2,3，mn).123mn(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明：E(X).解：(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为：p.(2)证明：随机变量X的概率分布为：XP随机变量X的期望为：E(X).所以E(X)(1CCC)(CCCC)(CCC)(CC)，即E(X)0的解集为R的概率解：(1)由题意知，这四粒种子中发芽的种子数可能为0,1,2,3,4，对应的未发芽的种子数为4,3,2,1,0，所以的所有可能取值为0,2,4，P(0)C22，P(2)C31C13，P(4)C40C04.所以随机变量的概率分布为：024P数学期望E()024.(2)由(1)知的所有可能取值为0,2,4，当0时，代入x2x10，得10，对xR恒成立，即解集为R；当2时，代入x2x10，得2x22x10，即220，对xR恒成立，即解集为R；当4时，代入x2x10，得4x24x10，其解集为xx，不满足题意所以不等式x2x10的解集为R的概率PP(0)P(2).5(2017天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以随机变量X的分布列为：X0123P随机变量X的数学期望E(X)0123.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0).所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.6(2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？解：(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P(X200)0.2，P(X300)0.4，P(X500)0.4.因此X的分布列为：X200300500P0.20.40.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200n500.当300n500时，若最高气温不低于25，则Y6n4n2n；若最高气温位于区间20,25)，则Y63002(n300)4n1 2002n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8002n.因此EY2n0.4(1 2002n)0.4(8002n)0.26400.4n.当200n300时，若最高气温不低于20，则Y6n4n2n；若最高气温低于20，则Y62002(n200)4n8002n.因此EY2n(0.40.4)(8002n)0.21601.2n.所以n300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元第2课时运用空间向量求角(能力课)常考题型突破运用空间向量求两直线所成的角例1已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，且，PCAB.(1)求的值；(2)求异面直线PC与AC1所成角的余弦值解(1)设正三棱柱的棱长为2，取AC中点O，连结OB，则OBAC.以O为原点，OB，OC所在直线为x轴，y轴，过点O且平行AA1的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，所以(，1,0)，(0，2,2)，(，1，2)因为PCAB，所以0，得()0，即()0，即(，2，22)(，1,0)0，解得.(2)由(1)知，(0,2,2)，cos ，所以异面直线PC与AC1所成角的余弦值是.方法归纳1两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为，则cos |cos |(其中为异面直线a，b所成的角)2用向量法求异面直线所成角的四步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值 变式训练(2017无锡期末)如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，ADBC，BADCBA90，PAABBC1，AD2，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点(1)求EF与DG所成角的余弦值；(2)若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点，E，F，G，设EF与DG所成角为，则cos .EF与DG所成角的余弦值为.(2)存在MN，使得MN平面PBC，理由如下：设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，(0,1,0)，(1,0，1)，即取x1，得n(1,0,1)，若存在MN，使得MN平面PBC，则n，设M(x1，y1，z1)，N(x2，y2，z2)，则点M，N分别是线段EF与DG上的点，t，(x2，y22，z2)，且把代入，得解得M，N.故存在两点M，N，使得MN平面PBC.运用空间向量求直线和平面所成的角例2(2017镇江调研)如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1ECF1.(1)求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；(2)求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值解(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，则A(3,0,0)，C1(0,3,3)，B(3，3,0)，E(3,0,2)，(3,3,3)，(0，3,2)，所以cos，故两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值为.(2)由(1)知(0，3,2)，又D1(0,0,3)，B1(3,3,3)，所以(3,0，1)，(0,0,3)设平面BED1F的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，得y2，z3，n(1,2,3)是平面BED1F的一个法向量设直线BB1与平面BED1F所成的角为，则sin ，所以直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值为.方法归纳直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin |cos |.变式训练(2017南通、泰州一调)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQBB1(0)(1)若，求AP与AQ所成角的余弦值；(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45，求实数的值解：以，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，P(1,2,2)，Q(2,0,2)(1)当时，(1,2,2)，(2,0,1)，所以cos，.所以AP与AQ所成角的余弦值为. (2)(0,0,2)，(2,0,2)设平面APQ的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x2，y2.所以n(2，2，2)又因为直线AA1与平面APQ所成角为45，所以|cosn，|，可得5240，又因为0，所以.运用空间向量求二面角例3(2017南通调研)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SA平面ABCD，AB1，ADAS2，P是棱SD上一点，且SPPD.(1)求直线AB与CP所成角的余弦值；(2)求二面角APCD的余弦值解(1)如图，分别以AB，AD，AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，S(0,0,2)设P(x0，y0，z0)，由，得(x0，y0，z02)(0,2，2)，x00，y0，z0，点P的坐标为.，(1,0,0)设直线AB与CP所成的角为，则cos .(2)设平面APC的法向量为m(x1，y1，z1)，由于(1,2,0)，即令y12，则x14，z11，所以m(4，2,1)为平面APC的一个法向量设平面SCD的法向量为n(x2，y2，z2)，由于(1,0,0)，(0，2,2)，即令y21，则z21，所以n(0,1,1)为平面SCD的一个法向量设二面角APCD的大小为，由图易知为锐角，所以cos |cosm，n|，所以二面角APCD的余弦值为.方法归纳解决二面角问题的两种方法(1)坐标法建立恰当坐标系，求出两个平面的法向量n1，n2，利用cosn1，n2求出(结合图形取“”号)(2)定义法构造出二面角的平面角，通过解三角形计算变式训练1.直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AB2，AC4，AA12，.(1)若1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)若二面角B1A1C1D的大小为60，求实数的值解：如图，分别以AB，AC，AA1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，C1(0,4,2)(1)当1时，D为BC的中点，所以D(1,2,0)，(1，2,2)，(0,4,0)，(1,2，2)设平面A1C1D的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，得y0，x2，则n(2,0,1)为平面A1C1D的一个法向量，设直线DB1与平面A1C1D所成角为.则sin ，所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为.(2)因为，所以D，.设平面A1C1D的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即令z11，得y10，x11，则n1(1,0,1)为平面A1C1D的一个法向量又平面A1B1C1的一个法向量为n2(0,0,1)，由题意得|cosn1，n2|，所以，解得1或1(不合题意，舍去)，所以实数的值为1.2(2017苏锡常镇一模)如图，已知正四棱锥PABCD中，PAAB2，点M，N分别在PA，BD上，且.(1)求异面直线MN与PC所成角的大小；(2)求二面角NPCB的余弦值解：(1)连结AC，BD，设AC，BD交于点O，在正四棱锥PABCD中，OP平面ABCD.又PAAB2，所以OP.以O为坐标原点，方向分别是x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，如图则A(1，1,0)，B(1,1,0)，C(1,1,0)，D(1，1,0)，P(0,0，)故， 所以，(1,1，)，cos，所以MN与PC所成角的大小为30.(2)(1,1，)，(2,0,0)，.设m(x，y，z)是平面PCB的一个法向量，则即令y，得z1，所以m(0，1)，设n(x1，y1，z1)是平面PCN的一个法向量，则即令x12，得y14，z1，所以n(2,4，), 故cosm，n，所以二面角NPCB的余弦值为.课时达标训练1(2017南京、盐城二模)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1AAB2，ABC60，E，F分别是BC，A1C的中点(1)求异面直线EF，AD所成角的余弦值；(2)点M在线段A1D上，.若CM平面AEF，求实数的值解：因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，所以A1A平面ABCD.又AE平面ABCD，AD平面ABCD，所以A1AAE，A1AAD.在菱形ABCD中，ABC60，则ABC是等边三角形因为E是BC的中点，所以BCAE.因为BCAD，所以AEAD.故以A为原点，AE，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(0,0,0)，E(，0,0)，C(，1,0)，D(0，2,0)，A1(0,0,2)，F.(1)因为(0,2,0)，所以cos，所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为.(2)设M(x，y，z)，由于点M在线段A1D上，且 ，即，则(x，y，z2)(0,2，2)解得M(0,2，22)，(，21,22)设平面AEF的法向量为n(x0，y0，z0)因为(，0,0)，所以即令y02，得z01，所以平面AEF的一个法向量为n(0,2，1)由于CM平面AEF，则n0，即2(21)(22)0，解得.2.如图，已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABCD，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDCAB1，M是PB的中点(1)证明：平面PAD平面PCD；(2)求AC与PB所成角的余弦值；(3)求平面AMC与平面BMC所成二面角(锐角)的余弦值解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，M.(1)证明：因为(0,0,1)，(0,1,0)，故0，所以APDC.由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，所以DC平面PAD.又DC平面PCD，所以平面PAD平面PCD.(2)因为(1,1,0)，(0,2，1)，所以cos，.所以AC与PB所成角的余弦值为.(3)设平面AMC的一个法向量为n1(x1，y1，z1)因为，(1,1,0)，所以即取x11，得y11，z12，所以n1(1，1,2)同理可得平面BMC的一个法向量为n2(1,1,2)因为cosn1，n2.所以平面AMC与平面BMC所成二面角(锐角)的余弦值为.3(2017江苏高考)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角BA1DA的正弦值解：(1)在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如图，以，为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.因为ABAD2，AA1，BAD120，则A(0,0,0)，B(，1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0，0，)，C1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)则cos，.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)可知平面A1DA的一个法向量为(，0,0)设m(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，又(，1，)，(，3,0)，则即不妨取x3，则y，z2，所以m(3，2)为平面BA1D的一个法向量，从而cos，m.设二面角BA1DA的大小为，则|cos |.因为0，所以sin .因此二面角BA1DA的正弦值为.4.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ABAC1，AA12，点P是棱BB1上一点，满足 (01)(1)若，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；(2)若二面角PA1CB的正弦值为，求的值解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为ABAC1，AA12，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，P(1，0,2)(1)由得，(1,0，2)，(0,1，2)设平面A1BC的法向量为n1(x1，y1，z1)，由得不妨取z11，则x1y12，从而