求数列通项公式的常用方法--(有答案).doc

求数列通项公式的常用方法一、累加法 1适用于： -这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。2解题步骤：若，则 两边分别相加得 例1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。练习. 已知数列满足，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。二、累乘法 1. 。 -适用于： -这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二。2解题步骤：若，则两边分别相乘得，例2 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为练习. 已知,求数列an的通项公式答案：-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法 适用于 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如,其中)型（1）若c=1时，数列为等差数列;（2）若d=0时，数列为等比数列;（3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.解题步骤：设，得，与题设比较系数得，所以 ，所以有：因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，所以 即：.例3 已知数列中，求数列的通项公式。解： 又是首项为2，公比为2的等比数列 ，即练习已知数列中，求通项答案：2形如： (其中q是常数，且n0,1) 若p=1时，即：，累加即可.若时，即：，求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列即： ,令，则，然后累加求通项.ii. 两边同除以， 目的是把所求数列构造成等差数列。 即： ,令，则可化为，然后转化为待定系数法第一种情况来解。iii. 待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。例4 已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数法）：设，比较系数得，则数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，即解法二（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略解法三（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略3形如 (其中k,b是常数，且)待定系数法解题步骤：通过凑配可转化为 ；比较系数求x、y；解得数列的通项公式；得数列的通项公式。例5 . 在数列中，,求通项.（待定系数法）解：原递推式可化为比较系数可得：x=-6，y=9,上式即为所以是一个等比数列，首项，公比为。 即： ， 故。练习 在数列中，求通项.（逐项相减法）解：， 时，两式相减得 .令，则知 即 再由累加法可得. 亦可联立 解出.4形如 (其中a,b,c是常数，且)基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。例6 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设 比较系数得， 所以 由，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。5.形如时将作为求解分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。例7 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设比较系数得或，不妨取，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）则，则是首项为4，公比为3的等比数列，所以练习.数列中，若,且满足,求.答案： .四、不动点法 目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法不动点的定义：函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，再变形求解。类型一：形如 例8 已知数列中，求数列的通项公式。解：递推关系是对应得递归函数为，由得，不动点为-1，类型二：形如分析：递归函数为（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中。例9. 设数列满足,求数列的通项公式.（答案：）分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.解：对等式两端同时加参数t,得：,令, 解之得t=1,-2 代入得,相除得,即是首项为，公比为的等比数列, =, 解得.练习. 已知数列满足，求数列的通项答案：五、对数变换法 适用于(其中p,r为常数)型 p0， 例10. 设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，设，则 是以2为公比的等比数列， ，练习 数列中，（n2），求数列的通项公式. 答案：六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例11 已知数列满足，求数列的通项公式。解：求倒数得为等差数列，首项，公差为，七、阶差法（逐项相减法） 1、递推公式中既有，又有 分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。例12 已知数列的