高中数学 第二章 函数 2_2_3 待定系数法学案 新人教b版必修1

2.2.3待定系数法学习目标1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式.2.掌握待定系数法的特征及应用.预习导引1.待定系数法：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.2.正比例函数的一般形式为ykx(k0)，反比例函数的一般形式为y(k0)，一次函数的一般形式为ykxb(k0)，二次函数的一般形式为yax2bxc(a0).要点一求一次函数的解析式例1设一次函数f(x)满足ff(x)4x9，求f(x)的解析式.解设f(x)axb(a0)，则ff(x)af(x)ba(axb)ba2xabb.由ff(x)4x9，得a2xabb4x9，解得或f(x)2x3或f(x)2x9.规律方法设出一次函数解析式，由等量关系列式求解.跟踪演练1已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x).解设f(x)axb(a0)，则有3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab2x17，则a2，b7，即f(x)2x7.要点二求二次函数的解析式例2已知二次函数yf(x)的图象过A(0，5)，B(5,0)两点，它的对称轴为直线x2，求这个二次函数的解析式.解方法一设二次函数为f(x)ax2bxc(a0)，由题意得解得所求函数解析式为f(x)x24x5.方法二设二次函数f(x)a(x2)2k(a0)，将(0，5)，(5,0)，代入上式得解得所求函数的解析式为f(x)(x2)29，即f(x)x24x5.方法三二次函数过点(5,0)，且对称轴为x2，二次函数与x轴另一交点为(1,0)，设二次函数为f(x)a(x5)(x1)(a0)，将(0，5)代入得a1，f(x)x24x5.规律方法用待定系数法求二次函数解析式时，要注意其设法的多样性，由条件选择适当的形式.跟踪演练2求满足下列条件的二次函数的解析式.(1)已知二次函数的图象经过A(3,0)，B(0，3)，C(2,5)三点；(2)已知顶点坐标为(4,2)，点(2,0)在函数图象上；(3)已知yx24xh的顶点A在直线y4x1上.解(1)设所求函数为yax2bxc(a0)，其中a，b，c待定.根据已知条件得解得因此所求函数为yx22x3.(2)设所求函数ya(x4)22(a0)，其中a待定.根据已知条件得a(24)220，解得a，因此所求函数为y(x4)22x24x6.(3)yx24xh(x2)2h4，顶点A(2，h4)，由已知得(4)21h4，h5，所求函数为yx24x5.要点三待定系数法的综合应用例3如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式，并求该函数的值域.解设左侧的射线对应的解析式为ykxb(k0，x1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故解得k1，b2，所以左侧射线对应的函数的解析式为yx2(x3).当1x3时，抛物线对应的函数为二次函数.设其方程为ya(x2)22(1x3，a0)，由点(1,1)在抛物线上可知a21，所以a1，所以抛物线对应的函数解析式为yx24x2(1x3).综上，函数的解析式为y由图象可知函数的最小值为1，无最大值，所以，值域为1，).规律方法由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后根据不同区间上的函数类型，利用待定系数法求出相应解析式.跟踪演练3已知f(x)是定义在6,6上的奇函数，且f(x)在3,3上是一次函数，在3,6上是二次函数，f(6)2，又当3x6时，f(x)f(5)3，求f(x)的解析式.解因为f(x)在3,6上是二次函数，f(x)f(5)3，则(5,3)为抛物线的顶点，所以设f(x)a(x5)23(a0)，又因为f(6)2，代入f(x)得a1，所以x3,6时，f(x)(x5)23.当x3时，f(3)1，所以点(3，1)既在二次函数的图象上又在一次函数的图象上.又因为f(x)为奇函数，且x6,6，所以f(0)0，故可设一次函数式为f(x)kx(k0)，将(3，1)代入f(x)得k.所以一次函数式为f(x)x.当x6，3时，x3,6，所以f(x)f(x)(x5)23.所以f(x)1.已知二次函数yx2bxc的图象经过(1,0)(2,5)两点，则二次函数的解析式为()A.yx22x3B.yx22x3C.yx22x3D.yx22x6答案A解析将(1,0)，(2,5)代入yx2bxc可得由解得b2，c3.2.已知一次函数的图象过点(1,3)，(3,4)，则这个函数的解析式为()A.yx B.yxC.yx D.yx答案B解析设一次函数解析式为ykxb(k0)，把点(1,3)，(3,4)代入易知得3.已知二次函数的图象经过(1,0)，(1,0)，(2,3)三点，则这个函数的解析式为()A.yx21 B.y1x2C.yx21 D.yx21答案A解析设ya(x1)(x1)(a0)，将点(2,3)代入得33a，a1.yx21.4.已知某二次函数的图象与函数y2x2的图象形状一样，开口方向相反，且其顶点为(1,3)，则此函数的解析式为()A.y2(x1)23 B.y2(x1)23C.y2(x1)23 D.y2(x1)23答案D解析设所求函数的解析式为ya(xh)2k(a0)，由题意可知a2，h1，k3，故y2(x1)23.5.已知二次函数f(x)的图象顶点坐标为(1，2)，且过点(2,4)，则f(x)_.答案6x212x4解析设f(x)a(x1)22(a0)，因为过点(2,4)，所以有a(21)224，得a6.所以f(x)6(x1)226x212x4.1.求二次函数解析式时，已知函数图象上三点的坐标，通常选择一般式；已知图象的顶点坐标(对称轴和最值)通常选择顶点式；已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2