高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第51讲 空间几何点的坐标的写法

第51讲 空间几何点的坐标的写法【知识要点】一、空间向量的正交分解空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、，使. 如果两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.二、空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对于空间任意一个向量，存在一个唯一的有序实数组使.我们把叫做空间的一个基底，其中叫基向量.三、单位正交分解如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，长度都为1个单位，则这个基底叫做单位正交基底，通常用表示.四、空间直角坐标若为有公共起点的三个两两垂直的单位向量，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，有序实数组使得，我们把称作向量在单位正交基底下的坐标，记作，则坐标就是向量的坐标.五、写空间点的坐标常用的有直接观察法、向量法、作坐标线法三种.【方法讲评】方法一直接观察法使用情景点的位置比较特殊，一般在坐标轴上或其它特殊位置.解题步骤直接利用空间向量点坐标的定义观察写出点的坐标.【例1】如图，在直三棱柱中，是棱上的一点，是的延长线与的延长线的交点，且平面（1）求证：；（2）求二面角的正弦值由（1）知为中点点坐标分别为， 设平面的法向量且取 【点评】该题中的几何体比较特殊的几何体直三棱柱，题目中的各个点比较容易直接观察得到，所以选择直接观察法写出各点的坐标.在正方体、长方体、直棱柱、正棱柱等特殊几何体中也常用直接观察法.【反馈检测1】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，是的中点，作交于点（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值 方法二向量法使用情景点在一般位置，不是特殊位置.解题步骤利用向量的关系计算出空间点的坐标. 【例2】己知四棱锥，其中底面为矩形侧棱，其中,，为侧棱上的两个三等分点，如图所示：（1）求证：；（2）求二面角的余弦值（2）易知为等腰直角三角形,所以为外接圆的直径,所以,如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)，(3,0,0)，(3,6,0)，(0,6,0)，(0,0,3)，设坐标为,由题得,所以所以, 所以坐标为(2,4,1)，同理点坐标为(1,2,2)，设平面的法向量为,，并且,，令得,【点评】本题中的点的坐标不是很好写，所以要根据向量的关系列出方程，再解方程即可推算出的坐标. 【例3】如图，在各棱长均为2的三棱柱中，侧面，（）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；（）已知点满足，在直线上是否存在点，使平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由【解析】（）侧面，作于点，又，且各棱长都相等，故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，1，0），（，0，0），（0，1，0），.（），而又，点的坐标为假设存在点符合题意，则点的坐标可设为平面，为平面的法向量，由，得，又，故存在点，使平面，其坐标为，即恰好为点【点评】本题中的点的坐标不是很好写，但是利用列出关于点坐标的方程便可以比较方便地写出它的坐标. 【反馈检测2】正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度均为2分别是的中点，是的中点，过的一个平面与侧棱或其延长线分别相交于，已知（1） 证明：平面； （2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离.方法三作坐标线法使用情景点所在的三角形是直角三角形.解题步骤作出点的坐标线，根据坐标线写出点的坐标.【例4 】 如图，四棱锥的底面为矩形，且，（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值（）以点为坐标原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如右图示，则依题意可得 ,可得平面的单位法向量为，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为. 【点评】本题中点的坐标，直接观察不是很方便，需要过点作,垂足为,再解三角形，得到的长度，即可得到点的坐标.【反馈检测3】如图在底面为菱形的四棱锥，点在上，且（）求证：平面；（）求二面角的正弦值；（）在棱上是否存在点使得平面？若存在，试求的值；若不存在，请说明理由高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第51讲：空间几何点的坐标的写法参考答案【反馈检测1答案】（1）证明过程详见解析；（2）.【反馈检测1详细解析】如图建立空间直角坐标系，点为坐标原点，设. （2）,又,故,所以.由已知，且,所以平面. 所以平面的一个法向量为.,不妨设平面的法向量为则 不妨取则，即 设求二面角的平面角为 因为，所以二面角的正弦值大小为 【反馈检测2答案】（1）见解析；（2）；（3）.（2）作于，连.因为平面，根据三垂线定理知，就是二面角的平面角.作于，则，则是的中点，则.设，由得，解得，在中，则，.所以，故二面角余弦值为.(2)由已知设则由与共线得:存在有得 同理:【反馈检测3答案】（1）见解析；（2）（3）.【反馈检测3详细解析】（）证明：在菱形中，平面（）如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得设所求二面角的平面角为，则，所以二面角的正弦值为