高中数学 第一章 集合与函数概念 1_3_1 第2课时 函数的最大值、最小值学案 新人教a版必修1

第2课时函数的最大值、最小值学习目标1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义(难点).2.会借助单调性求最值(重点).3.掌握求二次函数在闭区间上的最值(重点)预习教材P30，完成下面问题：知识点函数的最大值与最小值最大值最小值条件一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)Mf(x)M存在x0I，使得f(x0)M结论称M是函数yf(x)的最大值称M是函数yf(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何函数f(x)都有最大值和最小值()(2)若存在实数m，使f(x)m，则m是函数f(x)的最小值()(3)若函数f(x)在区间a，b上是增函数，则f(x)在区间a，b上的最小值是f(a)，最大值是f(b)()提示(1)反例：f(x)x既无最大值，也无最小值(2)若使m是f(x)的最小值，还需在f(x)的定义域内存在x0，使f(x0)m.(3)由于f(x)在区间a，b上是增函数，所以f(a)f(x)f(b)故f(x)的最小值是f(a)，最大值是f(b)题型一用图象法和函数的单调性求函数的最值【例1】(1)已知函数f(x)则f(x)的最大值、最小值分别为_，_.(2)求函数f(x)在区间2,5上的最大值与最小值(1)解析作出函数f(x)的图象(如图)由图象可知，当x1时，f(x)取最大值为f(1)1.当x0时，f(x)取最小值f(0)0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.答案10(2)解任取2x1x25，则f(x1)，f(x2)，f(x2)f(x1)，2x1x25，x1x20，x110，f(x2)f(x1)0，f(x2)f(2)，所以f(x)在区间1,2上的最大值为f(1)5.(3)因为f(x)在区间2,3上单调递增，所以f(x)在区间2,3上的最小值为f(2)2，最大值为f(3)5.【探究3】已知函数f(x)x2ax1，(1)求f(x)在0,1上的最大值；(2)当a1时，求f(x)在闭区间t，t1(tR)上的最小值解(1)因为函数f(x)x2ax1的图象开口向上，其对称轴为x，所以区间0,1的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，当，即a1时，f(x)的最大值为f(1)2a；当，即a1时，f(x)的最大值为f(0)1.(2)当a1时，f(x)x2x1，其图象的对称轴为x.当t时，f(x)在t，t1上是增函数，f(x)minf(t)t2t1；当t1，即t时，f(x)在上是减函数，f(x)minf(t1)t2t1；当tt1，即t0时，有(2a1)(a1)2，解得a2；当a0时，有(a1)(2a1)2，解得a2.综上知a2.答案C4函数f(x)3x在区间2,4上的最大值为_解析在区间2,4上是减函数，3x在区间2,4上是减函数，函数f(x)3x在区间2,4上是减函数，f(x)maxf(2)324.答案45已知函数f(x)求函数f(x)的最大值、最小值解作出f(x)的图象如图：由图象可知，当x2时，f(x)取最大值为2；当x时，f(x)取最小值为.所以f(x)的最大值为2，最小值为.课堂小结1函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素(2)若函数f(x)在闭区间a，b上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得，即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)2二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出yf(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定