高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3_2 指数扩充及其运算性质学案 北师大版必修1

3.2 指数扩充及其运算性质非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对*百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。核心必知1分数指数幂(1)定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bnam，把b叫作a的次幂，记作ba，它就是分数指数幂(2)几个结论：正分数指数幂的根式形式：a(a0)负分数指数幂的意义：a(a0，m，nN，且n1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义2指数幂的运算性质若a0，b0，对任意实数m，n，指数运算有以下性质：(1)amanamn；(2)(am)namn；(3)(ab)mambm.问题思考1若b253，则b5，b叫作5的次幂吗？提示：不一定，当b0时，可以；当b0时，b不叫作5的次幂 2为什么分数指数幂中规定整数m，n互素？提示：如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾例如：a中，底数aR，当a0时，a0，而如果把a写成a，有两种运算：一是a(a)2就必须a0；二是a(a2)，在a0时，a的结果大于0，与a0相矛盾所以规定整数m、n互素3分数指数幂a可以理解为个a相乘，对吗？提示：分数指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法，规定：a()m(a0，n、mN，且为既约分数)，a(a0，n、mN，且为既约分数)讲一讲1用分数指数幂表示下列各式(1)(a0); (2)；(3)()(b0)此类问题应熟练应用a(a0，m，nN，且n1)当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再根据性质进行化简练一练1用分数指数幂表示下列各式(1)8；(2)a2；(3) (a0)；(4)(a0)解：(1)8232232.(2)原式a2aa2a.(3)原式 a.(4)原式a2a.讲一讲2计算或化简(1)a3b2(2ab1)3；(2)(0.064)0(2)3160.75；(3)0.50.1230；(4) (a0)；(5)41232 8.尝试解答(1)原式a3b223a3b38a6b1.(2)原式(0.4)31(2)423(0.1)2(0.4)110.1.(3)原式10231003100.(4)原式aa()a()aaa01.(5)原式(22)1232(23)22223222222322238.进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题练一练2计算或化简下列各式(1)0.0272(1)0；(2)；(3).解：(1)原式2149145.(2)原式(22).(3)原式aaaaaa.讲一讲3已知aa3，求下列各式的值：(1)aa1；(2)a2a2； .尝试解答(1)将3两边平方，得aa129，即aa17.(2)将aa17两边平方，有a2a2249.a2a247.aa118.对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值要注意正确地变形及平方、平方差等公式的应用，含开方运算时还要注意其符号问题练一练3(1)若102x25, 5，则10yx_；(2)若m，则_.解析：(1)由102x25，得10x5，10x(10x)151，而5，10y52，则10yx10y10x52515.(2)由m，两边平方得：aa12m2，aa1m22，故aa1m22.答案：(1)5(2)m22设a2n3，a0，求的值解法一：由a2n3，a0得an，an，a3n()33，a3n .法二：a2n1a2n31.尝试用另一种方法解题法三：.1计算等于()A9 B3 C3 D3解析：选B由35243，得3.2下列各式运算错误的是()A(a2b)2(ab2)3a7b8B(a2b3)3(ab2)3a3b3C(a3)2(b2)3a6b6D(a3)2(b2)33a18b18解析：选C对C，(a3)2(b2)3a6(b6)a6b6a6b6.3.(a0)的值是()A1 Ba 解析：选D原式4若b3m2n(b0，m，nN)，则b_.解析：由b3m2n，得b答案：5已知x31a，则a22ax3x6的值为_解析：x31a，ax31，a22ax3x6(ax3)21.答案：16求值：2()680.25(2 013)0.解：原式 41222332721210.一、选择题1下列根式与分数指数幂互化中正确的是()2将 化为分数指数幂的形式为()解析：选B原式 3计算的结果是()A. BC. D解析：选A原式.4若x0，则等于()A23 B23解析：选A原式 二、填空题解析：原式16444.答案：46若x0，则_.解析：原式1.答案：17若xy8，且x0，y0，则_.解析：原式2.答案：28已知102,1003，则_.解析：1003，即1023，10.106.答案：三、解答题9(1)计算：；(2)化简： (a0，b0)解：(1)原式421314.(2)原式.10已知f(x)axax，g(x)axax(a1)(1)求f(x)2g(x)2的值；(2)设f(x)f(y)4，g(x)g(y)8，求的值解：(1)f(x)2g(x)2(axax)2(axax)22ax(2ax)4.(2)f(x)f(y)