高中数学 第二章 参数方程 一 2 圆的参数方程教学案 新人教a版选修4-4

2圆的参数方程圆的参数方程(1)在t时刻，圆周上某点M转过的角度是，点M的坐标是(x，y)，那么t(为角速度)设|OM|r，那么由三角函数定义，有cos t，sin t，即圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(t为参数)其中参数t的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时间(2)若取为参数，因为t，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(为参数)其中参数的几何意义是：OM0(M0为t0时的位置)绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度(3)若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为(02)求圆的参数方程例1圆(xr)2y2r2(r0)，点M在圆上，O为原点，以MOx为参数，求圆的参数方程思路点拨根据圆的特点，结合参数方程概念求解解如图所示，设圆心为O，连OM，O为圆心，MOx2.(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程1已知圆的方程为x2y22x，写出它的参数方程解：x2y22x的标准方程为(x1)2y21，设x1cos ，ysin ，则参数方程为(02)2已知点P(2,0)，点Q是圆上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线解：设中点M(x，y)则即(为参数)这就是所求的轨迹方程它是以(1,0)为圆心，以为半径的圆.圆的参数方程的应用例2若x，y满足(x1)2(y2)24，求2xy的最值思路点拨(x1)2(y2)24表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2xy的最值转化为求三角函数最值问题解令x12cos ，y22sin ，则有x2cos 1，y2sin 2，故2xy4cos 22sin 2.4cos 2sin 2sin()22xy2.即2xy的最大值为2，最小值为2.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题3已知圆C与直线xya0有公共点，求实数a的取值范围解：法一：消去，得x2(y1)21.圆C的圆心为(0，1)，半径为1.圆心到直线的距离d1.解得1a1.法二：将圆C的方程代入直线方程，得cos 1sin a0，即a1(sin cos )1sin()1sin()1，1a1.一、选择题1圆的参数方程为：(为参数)则圆的圆心坐标为()A(0,2)B(0，2)C(2,0) D(2,0)解析：将化为(x2)2y24，其圆心坐标为(2,0)答案：D2直线：xy1与曲线(为参数)的公共点有()A0个 B1个C2个 D3个解析：将化为x2y24，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于2r，故直线与圆相交，有两个公共点答案：C3直线：3x4y90与圆：，(为参数)的位置关系是()A相切 B相离C直线过圆心 D相交但直线不过圆心解析：圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d2，故选D.答案：D4P(x，y)是曲线(为参数)上任意一点，则(x5)2(y4)2的最大值为()A36 B6C26 D25解析：设P(2cos ，sin )，代入得：(2cos 5)2(sin 4)225sin2cos26cos 8sin 2610sin()最大值为36.答案：A二、填空题5x1与圆x2y24的交点坐标是_解析：圆x2y24的参数方程为令2cos 1得cos ，sin .交点坐标为(1，)和(1，)答案：(1，)；(1，)6参数方程表示的图形是_解析：x2y2(3cos 4sin )2(4cos 3sin )225.表示圆答案：圆7设Q(x1，y1)是单位圆x2y21上一个动点，则动点P(xy，x1y1)的轨迹方程是_解析：设x1cos ，y1sin ，P(x，y)则即为所求答案：三、解答题8P是以原点为圆心，r2的圆上的任意一点，Q(6,0)，M是PQ中点画图并写出O的参数方程；当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程解：如图所示，O的参数方程设M(x，y)，P(2cos ，2sin )，因Q(6,0)，M的参数方程为即9(新课标全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ，.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：yx2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标解：(1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1)可得C的参数方程为(t为参数，0t)(2)设D(1cos t，sin t)由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t，t.故D的直角坐标为，即.10已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(为参数)(1)当时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线解：(1)当时，C1的普通方程为y(x1)，C2的普通方程为x2y21.联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0)，.(2)C1的普通方程为xsin ycos sin 0.A点坐标为(sin2，cos sin )，故当变化时，P点轨迹的参数