高中数学 第三章 基本初等函数（ⅰ）3_3 幂函数学案 新人教b版必修1

3.3幂函数学习目标1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，掌握它们的性质.3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.知识链接函数yx，yx2，y(x0)的图象和性质函数图象定义域值域单调性奇偶性yxRR增奇yx2R0，)在(，0)上减偶在0，)上增y(x0)x|x0y|y0在(，0)上减奇在(0，)上减预习导引1.幂函数的概念函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数.2.幂函数的图象与性质幂函数yxyx2yx3yxyx1图象定义域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，增x(，0减增增x(0，)减x(，0)减定点(1,1)要点一幂函数的概念例1函数f(x)(m2m1)x是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式.解根据幂函数定义得，m2m11，解得m2或m1，当m2时，f(x)x3在(0，)上是增函数，当m1时，f(x)x3，在(0，)上是减函数，不合要求.f(x)的解析式为f(x)x3.规律方法1.本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2m11”这一等量关系，导致解题受阻.2.幂函数yx(R)中，为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错.跟踪演练1已知幂函数f(x)x的图象经过点(9,3)，则f(100)_.答案10解析由题意可知f(9)3，即93，f(x)x，f(100)10010.要点二幂函数的图象例2如图所示，图中的曲线是幂函数yxn在第一象限的图象，已知n取2，四个值，则相应于c1，c2，c3，c4的n依次为()A.2，2 B.2，2C.，2,2， D.2，2，答案B解析考虑幂函数在第一象限内的增减性.注意当n0时，对于yxn，n越大，yxn增幅越快，n0时看|n|的大小.根据幂函数yxn的性质，故c1的n2，c2的n，当n0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n，曲线c4的n2，故选B.规律方法幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线x1的右侧，yx的图象由上到下，指数由大变小；在第一象限内，直线x1的左侧，yx的图象由上到下，指数由小变大.(2)当0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当01时，曲线上凸；当1时，曲线下凸；当0时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸.跟踪演练2如图是幂函数yxm与yxn在第一象限内的图象，则()A.1n0m1B.n1,0m1C.1n0，m1D.n1，m1答案B解析在(0,1)内取同一值x0，作直线xx0，与各图象有交点，如图所示.根据点低指数大，有0m1，n1.要点三比较幂的大小例3比较下列各组数中两个数的大小：(1)与；(2)1与1；(3)0.25与6.25；(4)0.20.6与0.30.4.解(1)yx是0，)上的增函数，且，.(2)yx1是(，0)上的减函数，且，11.(3)0.252，6.252.5yx是0，)上的增函数，且22.5，22.5，即0.256.25.(4)由幂函数的单调性，知0.20.60.30.6，又y0.3x是减函数，0.30.40.30.6，从而0.20.60.30.4.规律方法1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数.2.若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量.跟踪演练3比较下列各组数的大小：(1)0.5与0.5；(2)3.143与3；(3)与.解(1)yx0.5在0，)上是增函数且，0.50.5.(2)yx3是R上的增函数，且3.14，3.1433，3.1433.(3)yx是减函数，.yx是0，)上的增函数，.1.下列函数是幂函数的是()A.y5x B.yx5C.y5x D.y(x1)3答案B解析函数y5x是指数函数，不是幂函数；函数y5x是正比例函数，不是幂函数；函数y(x1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数yx5是幂函数.2.下列函数中，其定义域和值域不同的函数是()A.yx B.yxC.yx D.yx答案D解析yx，其定义域为R，值域为0，)，故定义域与值域不同.3.设，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有值为()A.1,3 B.1,1C.1,3 D.1,1,3答案A解析可知当1,1,3时，yx为奇函数，又yx的定义域为R，则1,3.4.若a()，b()，c(2)3，则a、b、c的大小关系为_.答案abc解析yx在(0，)上为增函数.()()，即ab0.而c(2)3230，abc.5.已知幂函数f(x)(n22n2)x(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为_.答案1解析由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，经检验只有n1适合题意.1.幂函数yx的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量.2.幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.3.简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)1.(2)如果0，幂函数在0