高中数学 第一章 三角函数 1_1_1 任意角学案 苏教版必修4

1.1.1任意角学习目标1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角知识点一角的相关概念思考1用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？思考2将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？思考3如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？梳理(1)角的概念：一个角可以看成平面内_绕着_O从一个位置 OA_到另一个位置OB所成的图形点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角的_和_(2)按照角的旋转方向，分为如下三类类型定义正角按_方向旋转所形成的角叫做正角负角按_方向旋转所形成的角叫做负角零角如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角知识点二象限角、轴线角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？梳理以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系这样，角的_(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角如果角的终边在坐标轴上，则称这个角为轴线角知识点三终边相同的角思考1假设60的终边是OB，那么660，420的终边与60的终边有什么关系，它们与60分别相差多少？思考2如何表示与60终边相同的角？梳理终边相同角的表示一般地，与角终边相同的角的集合为|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个_的和类型一任意角概念的理解例1(1)给出下列说法：锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；第二象限角是钝角；小于180的角是钝角、直角或锐角其中正确命题的序号为_；(把正确命题的序号都写上)(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是_反思与感悟解决此类问题要正确理解锐角、钝角、090角、象限角等概念角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小跟踪训练1写出下列说法所表示的角(1)顺时针拧螺丝2圈；(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角类型二象限角的判定例2在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角(1)150；(2)650；(3)95015.引申探究确定(nN*)的终边所在的象限反思与感悟判断象限角的步骤：(1)当0360时，直接写出结果(2)当0或360时，将化为k360(kZ，0360)，转化为判断角所属的象限跟踪训练2下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式360720的元素写出来(1)60；(2)21.类型三终边相同的角例3在与角10 030终边相同的角中，求满足下列条件的角(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360，720)的角反思与感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值跟踪训练3写出与1 910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素写出来例4写出终边在直线yx上的角的集合反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x0和x0两种情况讨论，最后再进行合并跟踪训练4写出终边在直线yx上的角的集合类型四区域角的表示例5如图所示(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合反思与感悟解答此类题目应先在0360上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简跟踪训练5如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合11 120角所在象限是_2与457角终边相同的角的集合是_32 017是第_象限角4与1 692终边相同的最大负角是_5写出终边落在坐标轴上的角的集合S.1对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”2关于终边相同的角的认识一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和注意：(1)为任意角(2)k360与之间是“”号，k360可理解为k360()(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍(4)kZ这一条件不能少答案精析问题导学知识点一思考1角的构成要素有始边、顶点、终边思考2有顺时针和逆时针两种旋转方向思考3不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角梳理(1)一条射线端点旋转始边终边(2)逆时针顺时针知识点二思考终边可能落在坐标轴上或四个象限内梳理终边知识点三思考1它们的终边相同660602360，42060360，故它们与60分别相差了2个周角及1个周角思考260k360(kZ)梳理周角题型探究例1(1)(2)120跟踪训练1(1)720(2)900例2解(1)因为150360210，所以在0360范围内，与150角终边相同的角是210角，它是第三象限角(2)因为650360290，所以在0360范围内，与650角终边相同的角是290角，它是第四象限角(3)因为95015336012945，所以在0360范围内，与95015角终边相同的角是12945角，它是第二象限角引申探究解一般地，要确定所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1,2,3,4，4n，标号为几的区域，就是根据所在第几象限时，的终边所落在的区域，如此，所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出跟踪训练2解(1)60角是第一象限角，所有与60角终边相同的角的集合S|60k360，kZ，S中适合360720的元素是60(1)360300，60036060，601360420.(2)21角是第四象限角，所有与21角终边相同的角的集合S|21k360，kZ，S中适合360720的元素是21036021，211360339，212360699.例3解与10 030终边相同的角的一般形式为k36010 030(kZ)，(1)由360k36010 0300，得10 390k36010 030，解得k28，故所求的最大负角为50.(2)由0k36010 030360，得10 030k3609 670，解得k27，故所求的最小正角为310.(3)由360k36010 030720，得9 670k3609 310，解得k26，故所求的角为670.跟踪训练3解由终边相同的角的表示知，与角1 910终边相同的角的集合为|k3601 910，kZ720360，即720k3601 910360(kZ)，3k6(kZ)，故取k4,5,6.当k4时，43601 910470；当k5时，53601 910110；当k6时，63601 910250.例4解|120n180，nZ跟踪训练4解终边在yx(x0)上的角的集合是S1|30k360，kZ；终边在yx(x0)上的角的集合是S2|210k360，kZ因此，终边在直线yx上的角的集合是SS1S2|30k360，kZ|210k360，kZ，即S|302k180，kZ|30(2k1)180，kZ|30n180，nZ故终边在直线yx上的角的集合是S|30n180，nZ例5解(1)终边落在射线OA上的角的集合是|k360210，kZ终边落在射线OB上的角的集合是|k360300，kZ(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是|k360210k360300，kZ跟踪训练5解设终边落在阴影部分的角为，角的集合由两部分组成：|k36030k360105，kZ；|k360210k360285，kZ角的集合应当是集合与的并集，即S|k36030k360105，kZ|k360210k360285，kZ|2k180302k180105，kZ|(2k1)18030(2k1)18010