高中数学 第三章 不等式 3_1 基本不等式学案 北师大版必修5

31基本不等式学习目标1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式知识点一算术平均数与几何平均数思考如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQa，BQb，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？梳理如果a，b都是非负数，那么，当且仅当ab时，等号成立其中称为a，b的_平均数，称为a，b的_平均数两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数知识点二基本不等式及其常见推论思考如何证明不等式(a0，b0)?梳理(a0，b0)当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论：(1)ab()2(a，bR)；(2)2(a，b同号)；(3)a2b2c2abbcca(a，b，cR)类型一常见推论的证明引申探究证明不等式()2(a，bR)例1证明不等式a2b22ab(a，bR)反思与感悟(1)本例证明的不等式成立的条件是a，bR，与基本不等式不同(2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法跟踪训练1已知a，b，c为任意的实数，求证：a2b2c2abbcca.类型二用基本不等式证明不等式例2已知x，y都是正数求证：(1)2；(2)(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.反思与感悟在(1)的证明中把，分别看作基本不等式中的a，b从而能够应用基本不等式；在(2)中三次利用了基本不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号跟踪训练2已知a，b，c都是正实数，求证：(ab)(bc)(ca)8abc.类型三用基本不等式比大小例3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，a，b，x均大于零，则()Ax BxCx Dx反思与感悟基本不等式一端为和，一端为积，使用基本不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和跟踪训练3设ab1，P，Q，Rlg ，则P，Q，R的大小关系是()ARPQ BPQRCQPR DPRQ1已知a0，b0，则2的最小值是()A2 B2 C4 D52若0abBbaCbaDba3设a、b是实数，且ab3，则2a2b的最小值是()A6 B4 C2 D84设a0，b0，给出下列不等式：a21a；4；(ab)4；a296a.其中恒成立的是_(填序号)1两个不等式a2b22ab与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当时，取等号”这句话的含义要有正确的理解一方面：当ab时，；另一方面：当时，也有ab.2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式答案精析问题导学知识点一思考PO.易证RtAPQRtPBQ，那么PQ2AQQB，即PQ，显然，.梳理算术几何知识点二思考ab2()2()22()20，当且仅当ab时，等号成立，ab2，当且仅当ab时，等号成立题型探究例1证明a2b22ab(ab)20，a2b22ab.引申探究证明由例1，得a2b22ab，2(a2b2)a2b22ab，两边同除以4，即得()2，当且仅当ab时，取等号跟踪训练1证明a2b22ab；b2c22bc；c2a22ca，2(a2b2c2)2(abbcca)，即a2b2c2abbcca，当且仅当abc时，等号成立例2证明(1)x，y都是正数，0，0，22，即2，当且仅当xy时，等号成立(2)x，y都是正数，xy20，x2y220，x3y320.(xy)(x2y2)(x3y3)2228x3y3，即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3，当且仅当xy时，等号成立跟踪训练2证明a，b，c都是正实数，ab20，bc20，ca20.(ab)(bc)(ca)2228abc.即(ab)(bc)(ca)8abc，当且仅当abc时，等号成立例3B第二年的产量为AAaA(1a)，第三年产量为A(1a)A(1a)bA(1a)(1b)若平均增长率为x，则第三年产量为A(1x)2.依题意有A(1x)2A(1a)(1b)，a0，b0，x0，(1x)2(1a)(1b)2，1x1，x.跟踪训练3Bab1，lg alg b0，即QP.又，lg lg(lg alg b)，即RQ.综合，有PQ