《复合函数的导数》PPT课件.ppt

1.2.2复合函数的导数 复习： 导数的运算法则 cf(x)= Cf(x)(c为常数) 复习： 1). 求函数y=(3x-2)2的导数. 2).如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？ 把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导. 是否还有用其它的办法求导呢? 想一想 ? 探 究： 二、新课复合函数的导数： 1.复合函数的概念: 对于函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以示 成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x) 的复合函数. 记作y=f(g(x) 函 数 内层函数 外层函数 复合函数 定义域值 域 u=g(x) y=f(u) y=f(g(x) ) xA UD UDyB xAyB 问题1:指出下列函数的复合关系 ： 解 : 2.求复合函数的导数 如:求函数y=(3x-2)2的导数, 注:1)y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数 的乘积. 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x) 的导数间关系为 2)法则可以推广到两个以上的中间变量. 3)在书写时不要把 写成 ,两者是 不完全一样的,前者表示对自变量x的求导,而 后者是对中间变量 的求导. 或 令y=u2,u=3x-2, 则 从而 3.复合函数的求导法则 应 用 举 例 例1：求下列函数的导数： （1）y=(5x-6)2; （2）y=e-0.05x+1; （4）y=sin(x+);(,为常数) (3)y=ln(x+2) 复合函数求导的基本步骤： 分解求导相乘回代 函数 的导数是( )A 练 习： 题型一 复合函数的求导方法 (2)令u=x2,则y=cosu, yx=yuux=- sinu2x =-2x sinx2. 规律技巧:求复合函数的导数,要分清函数的复合关系,对于分 式型的可化为幂的形式求导,关键选好中间变量.最后将中 间变量代回到原自变量的函数. 例2:求下列函数的导数. (1)y=(x2-4)2; 解:(1)(方法1)y=(x2-4)2=x4-8x2+16 y=(x4-8x2+16) =4x3-16x. (方法2)y=2(x2-4)(x2-4) =2(x2-4)2x =4x3-16x. (2)y=log2(2x2+3x+1); (3)y=e sin(ax+b) (3)y=e sin(ax+b)=e sin(ax+b) sin(ax+b) =e sin(ax+b)cos(ax+b)(ax+b) =acos(ax+b)e sin(ax+b). 变式训练2:求下列函数的导数. (2)y=( sin3x+ sinx3) =3 sin2x( sinx)+cosx3(x3) =3 sin2xcosx+3x2cosx3. 1、求下列函数的导数： 2、求曲线y=sin2x在点P(，0）处的 切线方程。 题型二 求导法则的综合应用 例3:已知函数f(x)是关于x的二次函数,其导函数为f(x),且 xR,x2f(x)-(2x-1)f(x)=1恒成立,求函数f(x)的解析式. 解:设f(x)=ax2+bx+c(a0), 则f(x)=2ax+b. 又x2f(x)-(2x-1)f(x) =x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c) =(a-b)x2+(b-2c)x+c=1恒成立, 变式训练3:已知函数f(x)是关于x的三次函数,且 f(0)=3,f(0)=0,f(1)=-3,f(2)=0,求f(x)的解析式. 解:设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0), 则f(x)=3ax2+2bx+c. 由f(0)=3,得d=3, 由f(0)=0,得c=0, 小结 ： 复合函数的求导，要注意分析 复合函数的结构，引入中间变量，将 复合函数分解成为较简单的函数，然 后再用复合函数的求导法则求导； 复合函数求导的基本步骤是： 分解求导相乘回代 求下列函数的导数: 解: (2) 解: “可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的 导函数为偶函数”.现在利用复合函数的导数加以证明: 证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时 对x求导得:得: 故 为奇函数. 同理可证另一个命题. 我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函 数的导函数也是周期函数. 证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定 义域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x). 两边同时对x求导得: 也是以T为周期的周期函数. 例5:设f(x)可导,求下列函数的导数: (1)f(x2);(2)f( );(3)f(sin2x)+f(cos2x) 解: 说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其 结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则. 求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆C2:4x2+9y2=72在交 点处的切线互相垂直. 证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中 一个交点处的切线互相垂直即可. 联