高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 一 二维形式的柯西不等式同步配套教学案 新人教a版选修4-5

一 二维形式的柯西不等式 对应学生用书P291二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立(2)二维形式的柯西不等式的推论：(ab)(cd)()2(a，b，c，d为非负实数)；|acbd|(a，b，c，dR)；|ac|bd|(a，b，c，dR)2柯西不等式的向量形式定理2：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立注意柯西不等式的向量形式中|，取等号“”的条件是0或存在实数k，使k.3二维形式的三角不等式(1)定理3：(x1，y1，x2，y2R)当且仅当三点P1，P2与O共线，并且P1，P2点在原点O异侧时，等号成立(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3R，有.事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据P1P2P3的边长关系有|P1P3|P2P3|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2在P3点的异侧时，等号成立 对应学生用书P29利用柯西不等式证明不等式例1已知为锐角，a，bR，求证：(ab)2.思路点拨可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“1sin2cos2.”然后用柯西不等式证明证明(cos2sin2)2(ab)2，(ab)2.利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件1已知a2b21，x2y21，求证：|axby|1.证明：由柯西不等式得(axby)2(a2b2)(x2y2)1，|axby|1.2已知a1，a2，b1，b2为正实数求证：(a1b1a2b2)(a1a2)2.证明：(a1b1a2b2)()2()22(a1a2)2.3设a，b，c为正数，求证： (abc)证明：由柯西不等式：ab，即ab.同理：bc，ac，将上面三个同向不等式相加得：2(abc) (abc).利用二维形式的柯西不等式求最值例2求函数y3sin 4cos 的最大值思路点拨函数的解析式是两部分的和，若能化为acbd的形式就能用柯西不等式求其最大值解由柯西不等式得(3sin 4cos )2(3242)(sin2cos2)25，3sin 4cos 5.当且仅当cos 0即sin ，cos 时取等号，即函数的最大值为5.利用柯西不等式求最值变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一4已知2x2y21，求2xy的最大值解：2xyx1y.当且仅当xy时取等号2xy的最大值为.5已知2x3y1，求4x29y2的最小值解：(4x29y2)(2222)(4x6y)24，4x29y2.当且仅当22x3y2，即2x3y时等号成立又2x3y1，得x，y，故当x，y时，4x29y2的最小值为.6求函数f(x)的最大值及此时x的值解：函数的定义域为6,12，由柯西不等式得()2(1212)()2()22(x612x)12，即2.故当时即x9时函数f(x)取得最大值2. 对应学生用书P311已知a，bR且ab1，则P(axby)2与Qax2by2的关系是()APQBPQCPQ DPQ解析：设m(x，y)，n(，)，则|axby|mn|m|n| ，(axby)2ax2by2.即PQ.答案：A2若a，bR，且a2b210，则ab的取值范围是()A2，2 B2，2 C， D(，)解析：(a2b2)12(1)2(ab)2，a2b210，(ab)220.2ab2.答案：A3已知xy1，那么2x23y2的最小值是()A. B.C. D.解析：(2x23y2)()2()2(xy)2(xy)26，(当且仅当x，y时取等号)即2x23y2.答案：B4函数y2的最大值是()A. B.C3 D5解析：根据柯西不等式，知y12(当且仅当x时取等号)答案：B5设xy0，则的最小值为_解析：原式29.(当且仅当xy时取等号)答案：96设a(2,1,2)，|b|6，则ab的最小值为_，此时b_.解析：根据柯西不等式的向量形式，有|ab|a|b|，|ab|618，当且仅当存在实数k，使akb时，等号成立18ab18，ab的最小值为18，此时b2a(4，2，4)答案：18(4，2，4)7设实数x，y满足3x22y26，则P2xy的最大值为_解析：由柯西不等式得(2xy)2(x)2(y)2(3x22y2)611，于是2xy.答案：8已知x，yR，且xy2.求证：2.证明：(xy) ()2()222，当且仅当时等号成立，此时x1，y1.所以2.9解方程2 .解：152()2226615.其中等号成立的充要条件是，解得x.10试求函数f(x)3cos x4的最大值，并求出相应的x的值解：设m(3,4)，n(cos x，)则f(x)3cos x4 |mn|m|n|5当且仅当mn时，上式取“”此时，3 4cos x0.解得si