高中数学 第二章 函数章末复习提升学案 新人教b版必修1

第二章 函数1.函数的概念与映射函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应.对于函数与映射都应满足：集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.2.函数表示法函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.解析法：必须注明函数的定义域.图象法：描点法作图时要确定函数定义域，化简函数的解析式，观察函数特征.列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.分段函数：由于分段函数在不同的定义域上函数的表达式不同，故分段函数可将不同的函数融合在同一题目中，体现知识的重组.3.函数性质研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势.4.函数最大(小)值求函数最值问题，常利用二次函数的性质(配方法)；利用图象；或利用函数单调性，如果函数f(x)在区间a，b上单调递增，在b，c上单调递减，则函数yf(x)在xb处有最大值f(b)，最小值为f(a)与f(c)中的较小者.5.函数的零点与方程根的关系及运用函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标.所以方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.推而广之，方程f(x)a的实数根函数yf(x)的图象与直线ya交点的横坐标.方程f(x)g(x)的实数根函数yf(x)和yg(x)图象交点的横坐标.题型一函数的概念与性质研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合.例1已知函数f(x)是奇函数，且f(2).(1)求实数m和n的值；(2)求函数f(x)在区间2，1上的最值；解(1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，.比较得nn，n0.又f(2)，解得m2.因此，实数m和n的值分别是2和0.(2)由(1)知f(x).任取x1，x22，1，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2).2x1x21时，x1x20，x1x20，x1x210，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).函数f(x)在2，1上为增函数，因此f(x)maxf(1)，f(x)minf(2).跟踪演练1(1)函数y的定义域为()A.(，1) B.(，0)(0,1C.(，0)(0,1) D.1，)(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x).若当0x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_.答案(1)B(2)解析(1)要使函数有意义，则即x1且x0.(2)由于当0x1时解析式已知，且已知f(x1)2f(x)，可设1x0，则0x11，整体代入求解.所以f(x1)(x1)1(x1)x(x1).又因为f(x1)2f(x)，所以f(x).题型二函数图象及其应用函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等.反之，掌握函数的性质，有助于图象正确的画出.函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点.例2对于函数f(x)x22|x|.(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值.解(1)函数的定义域为R，关于原点对称，f(x)(x)22|x|x22|x|.则f(x)f(x)，f(x)是偶函数.图象关于y轴对称.(2)f(x)x22|x|画出图象如图所示，根据图象知，函数f(x)的最小值是1.单调增区间是(1,0，1，)；减区间是(，1，(0,1).跟踪演练2对于任意xR，函数f(x)表示x3，x，x24x3中的较大者，则f(x)的最小值是_.答案2解析首先应理解题意，“函数f(x)表示x3，x，x24x3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f(x)表示x3，x，x24x3中最大的一个.如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8).从图象观察可得函数f(x)的表达式：f(x)f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2.题型三二次函数的有关问题二次函数是函数中的基础内容，它虽简单却具有丰富的内含和外延，可以以此来研究函数的单调性、奇偶性、最值等问题，是重要的函数模型.例3已知g(x)x23，f(x)是二次函数，当x1,2时，f(x)的最小值是1，且g(x)f(x)是奇函数，求f(x)的表达式.解设f(x)ax2bxc(a0)，则g(x)f(x)(a1)x2bxc3为奇函数，故有(a1)x2bxc3(a1)x2bxc3，(a1)x2bxc3(a1)x2bx(c3).解得f(x)x2bx3(x)23b2，f(x)在区间1,2上的最小值为1，需分下列3种情况讨论：当12，即4b2时，31，b28，b2，b22，b2，f(x)x22x3.当2，即b4时，f(x)的最小值是f(2).f(2)72b1，b3，舍去.当1，即b2时，f(x)的最小值是f(1).f(1)4b1，b3.f(x)x23x3.综上所述，f(x)x22x3，或f(x)x23x3.跟踪演练3已知函数f(x)x2x.(1)写出函数f(x)图象的顶点坐标及单调递增、递减区间；(2)是否存在实数a，当a1时，f(x)的定义域和值域都是1，a，若存在，求出a，若不存在，说明理由.解(1)f(x)x2x(x22x3)(x1)21，f(x)的顶点坐标为(1,1)，单调递减区间是(，1，单调递增区间是1，).(2)假设存在实数a满足条件.x1是f(x)x2x的对称轴，故1，a是函数f(x)的递增区间且f(a)a2a，a2aa，a1或a3.又a1，a3.存在实数a3，使f(x)的定义域和值域均为1，a.题型四函数与方程的思想函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质达到相互转化，多角度解决问题的目的.在本章中函数的零点问题，函数性质的应用，求参数的范围都应用了函数与方程思想.例4已知函数f(x)x2xa至少有一个零点为非负实数，求实数a的取值范围.解函数f(x)x2xa至少有一个零点为非负实数等价于方程x2xa0至少有一个非负实根，可以考虑问题的反面，方程无非负实数根，即方程有两个负实根或无实数根的情况.函数f(x)x2xa图象的对称轴为x，方程x2xa0不可能有两个负实根，当方程x2xa0无实根时，14a0，a.设A，则RA，即满足题意的实数a的取值范围是.跟踪演练4设aR，当a取何值时，不等式x22xa1在区间2,5上恒成立？解x22xa1a1x22x.令f(x)x22x(x1)21，x2,5，则f(x)minf(2)448.a18.a7.当a7时，x22xa1在2,5上恒成立.1.函数单调性的判定方法(1)定义法.(2)直接法：运用已知的结论，直接判断函数的单调性，如一次函数，二次函数，反比例函数；还可以根据f(x)，g(x)的单调性判断f(x)，f(x)g(x)的单调性等.(3)图象法：根据函数的图象判断函数的单调性.2.二次函数在闭区间上的最值对于二次函数f(x)a(xh)2k(a0)在区间m，n上的最值问题，有以下结论：(1)若hm，n，则yminf(h)k，ymaxmaxf(m)，f(n)；(2)若hm，n，则yminminf(m)，f(n)，ymaxmaxf(m)，f(n)(a0时可仿此讨论).3.函数奇偶性与单调性的差异函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x值，都有f(x)f(x)(