高中数学 第一章 立体几何初步 1_1_4 投影与直观图学案 新人教b版必修21

11.4投影与直观图学习目标1.了解中心投影、平行投影的概念，会画几何体的投影.2.理解直观图的斜二测画法规则，会画常见几何体的直观图知识点一平行投影思考太阳光线可以把一个矩形的窗框投射到地板上，影子是平行四边形，在影子中，框边的长度以及框边之间的夹角有所改变，你能观察出没有发生变化的是什么吗？梳理平行投影的定义及性质(1)定义：已知图形F，直线l与平面相交过F上任意一点M作直线MM_于l，交平面于点M，则点M叫做点M在平面内关于直线l的_(或象)如果图形F上的所有点在平面内关于直线l的平行投影构成图形F，则F叫做图形F在内关于直线l的_(2)平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：直线或线段的平行投影仍是_或_平行直线的平行投影是_或_的直线平行于投射面的线段，它的投影与这条线段_且_与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形_在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比_这两条线段的比知识点二直观图与斜二测画法思考1边长为2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，AB与CD有何关系？AD与BC呢？在原图与直观图中，AB与AB相等吗？AD与AD呢？思考2正方体ABCDA1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？梳理直观图与斜二测画法(1)直观图用来表示空间图形的_(2)斜二测画法的规则在已知模型所在的空间中取水平平面，作互相垂直的Ox，Oy轴，再作Oz轴，使xOz_，且yOz_.画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴Ox，Oy，Oz，使xOy_，xOz_，xOy所确定的平面表示水平平面已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于_、_或_的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系_已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中_，平行于y轴的线段，长度为_画图完成后，擦去作为辅助线的_，就得到了空间图形的直观图知识点三中心投影思考不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同？灯泡照射物体形成的投影是平行投影吗？梳理中心投影的概念一个_把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影类型一平行投影与中心投影例1(1)平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式其中正确说法的个数为()A0 B1 C2 D3(2)如图所示，在正方体ABCDABCD中，E，F分别是AA，CC的中点，则下列判断正确的是_(填序号)四边形BFDE在底面ABCD内的投影是正方形；四边形BFDE在面ADDA内的投影是菱形；四边形BFDE在面ADDA内的投影与在面ABBA内的投影是全等的平行四边形反思与感悟常见图形的平行投影图形图形的平行投影点是一个点线段是线段或一个点线段的中点仍是这条线段投影的中点直线是直线或一个点平行直线是平行直线、一条直线或是两个点跟踪训练1(1)已知ABC，选定的投影面与ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的ABC与ABC的关系是()A全等 B相似C不相似 D以上都不对(2)下列命题中，不正确的是()正方形的平行投影一定是菱形；平行四边形的平行投影可能是矩形；锐角三角形的平行投影一定不是直角或钝角三角形A BC D类型二直观图的画法例2画出如图水平放置的直角梯形的直观图引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？反思与感悟(1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可跟踪训练2(1)用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图(2)画一个正四棱锥的直观图(尺寸自定)类型三直观图的还原与计算例3如图所示，ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形反思与感悟由直观图还原平面图形的关键(1)平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段扩大为原来的2倍(2)对于相邻两边不与x、y轴平行的顶点可通过作x轴，y轴平行线变换确定其在xOy中的位置跟踪训练3如图所示，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，CD2 cm，则原图形是_例4如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1C1D12，A1D1OD11.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积反思与感悟(1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高(2)若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S，则SS.跟踪训练4如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形ABO，若OB1，那么原三角形ABO的面积是()A. B.C. D21当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，下列说法中不正确的是()A直线或线段的平行投影仍是直线或线段 B平行直线的平行投影仍是平行的直线 C与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等 D在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比2已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为()A16 B64C16或64 D无法确定3利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()4.如图，水平放置的ABC的斜二测直观图是图中的ABC，已知AC6，BC4，则AB边的实际长度是_5画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图1画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点确定点的位置，可采用直角坐标系建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上2用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成Ox、Oy轴，使xOy45或135.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”3中心投影的投射线相交于一点，中心投影后，图形与原图形相比虽然相差较大，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致若一个平面图形所在的平面与投射面平行，则中心投影后得到的图形与原图形相似答案精析问题导学知识点一思考框边的平行性没有改变，平行直线段或同一条直线上的两条线段的比也没有改变梳理(1)平行平行投影平行投影(2)直线线段平行重合平行等长全等等于知识点二思考1ABCD，ADBC，ABAB，ADAD.思考2 没有都画成正方形梳理(1)平面图形(2)909045(或135)90x轴y轴z轴相同保持长度不变原来的坐标轴知识点三思考灯泡发出的光线是由一点向外分散发射的；手电筒发出的光是一束平行光线不是梳理点光源题型探究例1D由平行投影和中心投影的定义知，平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点，故正确；空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，故正确；几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式，故正确故选D.(2)解析四边形BFDE的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是B，C，D，A，所以投影是正方形，即正确；设正方体的棱长为2，则AE1，取DD的中点G，连接AG，则四边形BFDE在面ADDA内的投影是四边形AGDE，由AEDG，且AEDG，知四边形AGDE是平行四边形，但AE1，DE，所以四边形AGDE不是菱形，即不正确；对于，由可知两个投影四边形是对边分别相等的平行四边形，从而正确跟踪训练1(1)B根据题意画出图形如图由图易得，则ABCABC.(2)B正方形的平行投影可以是矩形或平行四边形或菱形，故错；平行四边形的平行投影可以是矩形、菱形、正方形，故正确；锐角三角形的平行投影可以是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形或线段，故错故选B.例2解(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系画出相应的x轴和y轴，使xOy45，如图(1)(2)所示(2)在x轴上截取OBOB，在y轴上截取ODOD，过点D作x轴的平行线l，在l上沿x轴正方向取点C使得DCDC.连接BC，如图(2)(3)所得四边形OBCD就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3)引申探究解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系xOy，使xOy45.(2)以O为中点在x轴上取ABAB，在y轴上取OEOE，以E为中点画出CDx轴，并使CDCD.(3)连接BC，DA，所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图跟踪训练2(1)解如图所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系画出对应的x轴、y轴，使xOy45.在x轴上截取OBOC2 cm，在y轴上截取OAOA，连接AB，AC，则三角形ABC即为正三角形ABC的直观图，如图所示(2)解画轴如图(1)，画x轴、y轴、z轴，使xOy45(或135)，xOz90.画底面以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.画顶点在Oz轴上截取OS，使OS等于已知正四棱锥的高画棱连接SA，SB，SC，SD，擦去辅助线(坐标轴)，得到正四棱锥SABCD的直观图，如图(2)所示例3解画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OAOA，即CACA；过B作BDy轴，交x轴于点D，在OA上取ODOD，过D作DBy轴，且使DB2DB；连接AB，BC，得ABC.则ABC即为ABC对应的平面图形，如图所示跟踪训练3菱形解析如图所示，在原图形OABC中，应有OD2OD224(cm)，CDCD2(cm)，OC6(cm)，OAOC，故四边形OABC是菱形例4解如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取ODOD11，OCOC12.在过点D的y轴的平行线上截取DA2D1A12.在过点A的x轴的平行线上截取ABA1B12.连接BC，即得到了原图形由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2，CD3，直角腰的长度AD2，所以面积为S25.跟踪训练4C直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为，又直观图与原平面图形面积比为4，所以原图形的面积为，故选C.当堂训练1B2.C3.C410解析在原图中，AC6，BC4