高中数学第一章计数原理1分类加法计数原理和分步乘法计数原理课件北师大版选修2_3

1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 第一章 计数原理 学习目标 1.理解分类加法计数原理与分类乘法计数原理. 2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题. 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一 分类加法计数原理(加法原理) 该志愿者从上海到天津的方案可分几类？ 答案 答案 两类，即乘飞机、坐火车. 第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶赴天津为游 客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车. 思考2 这几类方案中各有几种方法？ 答案 答案 第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种 方法. 思考3 该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法？ 答案 共有7613(种)不同的方法. 分类加法计数原理(加法原理) 完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二 类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种方法.那么，完成 这件事共有N 种方法. 梳理 m1m2mn 思考1 知识点二 分步乘法计数原理(乘法原理) 李娜从北京到A城需要经过几个步骤？ 答案 答案 2个. 李娜为备战网球公开赛，需从北京到A城进行封闭式训练，中途要在B城 停留，若从北京到B城有7次航班，从B城到A城有6列动车. 思考2 李娜从北京到A城共有多少种不同的方法？ 答案 7642(种). 梳理 分步乘法计数原理(乘法原理) 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做 第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事 共有N 种方法. m1m2mn 题型探究 解答 例1 在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个 ？ 类型一 分类加法计数原理 解 方法一 一个两位数由十位数字和个位数字组成，可先确定个位 数字后再考虑十位数字有几种可能. 一个两位数的个位数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，把这样的两位数分成 10类. 第一类：当个位数字为0时，十位数字可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，有9个 满足条件的两位数. 第二类：当个位数字为1时，十位数字可以是2,3,4,5,6,7,8,9，有8个满 足条件的两位数. 第三类：当个位数字为2时，十位数字可以是3,4,5,6,7,8,9，有7个满足 条件的两位数. 以此类推，当个位数字分别是3,4,5,6,7,8,9时，满足条件的两位数的个 数分别为6,5,4,3,2,1,0. 由分类加法计数原理，满足条件的两位数有 987654321045(个). 故个位数字小于十位数字的两位数共有45个. 方法二 考虑两位数“ab”与“ba”中，个位数字与十位数字的大小关 系，利用对应思想解决. 在总共90个两位数中，个位数字等于十位数字的两位数为11,22,33，99 ，共9个；另有10,20,30，90，共9个两位数的个位数字与十位数字不 能调换位置；其余901872个两位数，按“ab”与“ba”进行一一对 应， 则每一个“个位数字小于十位数字的两位数”就与另一个“十位数字小 于个位数字的两位数”对应，故其中“个位数字小于十位数字的两位数 ”有72236(个). 故满足条件的两位数的个数为93645，即个位数字小于十位数字的两 位数共有45个. (1)应用分类加法计数原理时，完成这件事的n类方法是相互独立的，无 论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事. (2)利用分类加法计数原理解题的一般思路 反思与感悟 解析 因为椭圆的焦点在x轴上，所以mn. 当m4时，n1,2,3； 当m3时，n1,2； 当m2时，n1， 即所求的椭圆共有3216(个). 跟踪训练1 设集合A1,2,3,4，m，nA，则方程 表示焦点 位于x轴上的椭圆的有 A.6个 B.8个 C.12个 D.16个 解析答案 例2 (1)4名同学选报跑步、跳高、跳远3个项目，每人报一项，共有多 少种报名方法？ 解答 解 要完成的是“4名同学每人从3个项目中选一项报名”这件事， 因为每人必报一项，4名同学都报完才算完成， 于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种， 所以共有333381(种)报名方法. 类型二 分步乘法计数原理 (2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(每项冠军只允许一人获得) ，共有多少种可能的结果？ 解答 解 要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事， 因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成， 于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步， 而每项冠军是4名同学中的某一人，有4种可能的情况， 于是共有44464(种)可能的情况. 在运用分步乘法计数原理解决问题时，应首先弄清分步的主体是什 么，再根据主体进行分步，最后根据分步乘法计数原理进行解题. 反思与感悟 跟踪训练2 从2，1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作 为二次函数yax2bxc的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数 为_. 答案解析 解析 由题意知a不能为0， 故a的值有5种选法； b的值也有5种选法； c的值有4种选法. 由分步乘法计数原理，得抛物线的条数为554100. 100 类型三 两个计数原理的应用 例3 如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块.现有4种不同的花供选种 ，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，问共有多少种不 同的种植方法. 解答 解 方法一 分为两类： 第一类：当花坛A，C中种的花相同时有43336(种)； 第二类：当花坛A，C中种的花不同时有432248(种). 共有364884(种). 方法二 分为四步： 第一步：考虑A，有4种； 第二步：考虑B，有3种； 第三步：考虑C，有两类：一是A与C相同，C的选法有1种，这样第四步D的 选法有3种；二是A与C不同，C的选法有2种，此时第四步D的选法也有2种. 共有43(1322)84(种). 综合应用两个原理时，一定要把握好分类与分步.分类是根据完成 方法的不同类别，分步是根据一种方法进程的不同步骤. 反思与感悟 解 由题意，四棱锥SABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它 们共有54360(种)染色方法. 当S，A，B染色确定时，不妨设其颜色分别为1,2,3. 若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种 染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法. 由分类加法计数原理知，当S，A，B染法确定时，C，D有7种染法. 由分步乘法计数原理得，不同的染色方法有607420(种). 解答 跟踪训练3 如图所示，将四棱锥SABCD的每一个顶 点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果 只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数. 当堂训练 23451 1.在2,3,5,7,11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个 数为 A.20 B.10 C.5 D.24 解析 解析 当分子为11时，分母可为2,3,5,7，所以可构成4个假分数； 当分子为7时，分母可为2,3,5，所以可构成3个假分数； 当分子为5时，分母可为2,3，所以可构成2个假分数； 当分子为3时，分母可为2，所以可构成1个假分数. 由分类加法计数原理可得，假分数的个数为432110. 答案 23451 2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件 上衣配成一套，则不同的配法种数为 A.7 B.12 C.64 D.81 答案解析 解析 要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件， 有4种不同的选法； 第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法.故共有43 12(种)不同的配法. 23451 3.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择 其中的一个讲座，不同选法的种数是 A.56 B.65 C. D.65432 答案解析 解析 每位同学都有5种选择，共有55555556(种). 23451 4.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的 矩形涂色不同，则不同的涂法有_种. 答案 AB C D 108 解析 解析 A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，共有 4333108(种)涂法. 5.如图，AC有_种不同的走法. 答案解析 解析 AC的走法可分两类： 第一类：AC，有2种不同走法； 第二类：ABC，有224种不同走法. 根据分类加法计数原理，得共有2