高中数学 第一章 计数原理 2 第一课时 排列与排列数公式教学案 北师大版选修2-3

第一课时排列与排列数公式 排列的概念例1下列哪些问题是排列问题：(1)从10名学生中选2名学生开会共有多少种不同的选法？(2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘共能得几个不同的乘积？(3)以圆上的10个点为端点作弦可作多少条不同的弦？(4)10个车站，站与站间的车票种数有多少？思路点拨判断是否为排列问题的关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关精解详析(1)选2名同学开会没有顺序，不是排列问题(2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问题(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题(4)车票使用时，有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题一点通判定是不是排列问题，要抓住排列的本质特征，第一取出的元素无重复性，第二选出的元素必须与顺序有关才是排列问题元素相同且排列顺序相同才是相同的排列元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关键1下列命题，abc和bac是两个不同的排列；从甲、乙、丙三人中选两人站成一排，所有的站法有6种；过不共线的三点中的任两点所作直线的条数为6.其中为真命题的是()ABC D答案：A2判断下列问题是不是排列，若是，写出所有排列(1)从张红、李明、赵华三人中选出两人去参加数学竞赛有几种不同选法？(2)从(1)中的三人中选出两人分别去参加物理竞赛和数学竞赛有几种不同选法？(3)从a，b，c，d，e中取出两个字母有几种取法？解：(1)不是排列问题，因为选出两人参加数学竞赛与顺序无关(2)是排列问题，因为选出甲、乙两人参加竞赛，甲参加物理，乙参加数学，与甲参加数学，乙参加物理是不同的结果，即与顺序有关不同排列为张红李明；李明张红；张红赵华；赵华张红；李明赵华；赵华李明(3)不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关列举法解决排列问题例2从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个不同数字排成一个三位数，写出所得到的所有三位数思路点拨可按顺序分步解决，然后利用树形图列出所有的排列精解详析画出下列树形图，如下图由上面的树形图知，所有的三位数为：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432.共24个三位数一点通在“树形图”操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，在每类中再按余下元素在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类，依次一直进行到完成一个排列，这样就能不重不漏地依照“树形图”写出所有排列3由1,2,3三个数字可组成_个不同数字的三位数解析：三位数有123,132,213,231,312,321共6个答案：64A，B，C，D四名同学排成一行照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，试写出所有排列方法解：因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可以B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图所以符合题意的所有排列是：BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA.排列数的计算例3(12分)计算下列各题：(1)A；(2)；(3).思路点拨对(1)(2)，直接用排列数的连乘形式公式计算；对(3)，可利用排列数阶乘形式的公式证明精解详析(1)A1098720.(4分)(2).(8分)(3)(nm)！1.(12分)一点通(1)排列数的第一个公式An(n1)(nm1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式在运用该公式时要注意它的特点：从n起连续写出m个数的乘积即可(2)排列数的第二个公式A适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等5已知A7A，则n的值为()A6 B7C8 D2解析：由排列数公式，得n(n1)7(n4)(n5)，nN.3n231n700，解得n7或n(舍)答案：B6若A1095，则m_.解析：由排列数公式，得m6.答案：67计算：_.解析：法一：原式1.法二：原式1.答案：18(1)解方程A140A；(2)解不等式：A6A.解：(1)x3，xN，由A140A得(2x1)2x(2x1)(2x2)140x(x1)(x2)，化简得，4x235x690，解得，x13或x2(舍)，方程的解为x3.(2)由得3x6，且xN.又A6A6(8x)(7x)6x215x500(x10)(x5)05x10.综上可知x6，不等式解集为6排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序也有关在判断一个问题是否是排列问题时，可按下列方法进行： 15A4A等于()A107B323C320 D348解析：原式5543443348.答案：D2.等于()A. B.C. D.解析：.答案：C3设aN，且a27，则(27a)(28a)(34a)等于()AA BACA DA解析：8个括号里面是连续的自然数，依据排列数的概念，选D.答案：D4若从4名志愿者中选出2人分别从事翻译、导游两项不同工作，则选派方案共有()A16种 B6种C15种 D12种解析：4名志愿者分别记作甲、乙、丙、丁，则选派方案有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，即共有A12种方案答案：D5已知9！362 880，那么A_.解析：A181 440.答案：181 4406给出下列问题：从1,3,5,7这四个数字中任取两数相乘，可得多少个不同的积？从2,4,6,7这四个数字中任取两数相除，可得多少个不同的商？有三种不同的蔬菜品种，分别种植在三块不同的试验田里，有多少种不同的种植方法？有个头均不相同的五位同学，从中任选三位同学按左高右低的顺序并排站在一排照相，有多少种不同的站法？上述问题中，是排列问题的是_(填序号)解析：对于，任取两数相乘，无顺序之分，不是排列问题；对于，取出的两数，哪一个作除数，哪一个作被除数，其结果不同，与顺序有关，是排列问题；对于，三种不同的蔬菜品种任一种种植在不同的试验田里，结果不同，是排列问题；对于，选出的三位同学所站的位置已经确定，不是排列问题答案：7(1)计算；(2)解方程3A4A.解：(1)原式.(2)由3A4A，得，化简，得x219x780，解得x16，x213.又x8，且x19，原方程的解是x6.8从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有A43224种不同的分法不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为1,2,3,4号，画出下列树形图：由树形图可知，按甲乙丙的顺序分的分法为：