高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 4_3 直线与圆锥曲线的交点学案 北师大版选修2-1

4.3直线与圆锥曲线的交点学习目标1.会求曲线的交点.2.掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定.3.理解弦长公式及其求解与应用.知识点一两条曲线的交点在平面直角坐标系xOy中，给定两条曲线C1，C2，它们由如下方程确定：C1：f(x，y)0，C2：g(x，y)0.求曲线C1和C2的交点，即要求出这些交点的_.设M(x0，y0)是曲线C1和C2的一个交点.因为点M在曲线C1上，所以它的坐标满足方程f(x，y)0；因为点M在曲线C2上，所以它的坐标也满足方程g(x，y)0.从而，曲线C1和C2的任意一个交点的坐标都满足方程组反过来，该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线某一个交点的坐标.知识点二直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆的三种位置关系当直线与椭圆有两个交点时，称直线与椭圆相交；当直线与椭圆只有一个交点时，称直线与椭圆相切；当直线与椭圆没有交点时，称直线与椭圆相离.2.直线与椭圆位置关系的判定直线与椭圆位置关系的判定方法和直线与圆的位置关系的判定方法相同，即可以转化为直线与椭圆的方程所组成的方程组的求解问题，从而用代数方法来判断直线与椭圆的位置关系.具体的步骤为：(1)联立成方程组；(2)消元，转化为一元二次方程；(3)计算b24ac.当0时，直线与椭圆相交，有两个交点；当0时，直线与椭圆相切，有且只有一个交点；当0时，直线与椭圆相离，没有交点.知识点三直线与双曲线的位置关系已知双曲线的方程为1(a0，b0).(1)当直线的斜率存在时，设直线方程为ykxm.将双曲线方程与直线方程联立成方程组，消去y，整理得(b2a2k2)x22mka2xa2(m2b2)0.(*)当b2a2k20，即|k|时，若m0，则直线与双曲线的渐近线重合，直线与双曲线无交点，若m0，则直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点.当b2a2k20，即|k|时，当|k|时，若方程(*)的判别式0，则直线与双曲线的一支有两个不同的交点，相交，若0，则直线与双曲线有且只有一个公共点，相切，若0，则直线与双曲线没有交点，相离.当|k|时，直线与双曲线的两支各交于一点.(2)当直线的斜率不存在时，设直线方程为xn.当|n|a时，直线与双曲线的一支交于两点；当|n|a时，直线与双曲线的一支切于顶点；当|n|a时，直线与双曲线无交点.知识点四直线与抛物线的位置关系(1)当直线的斜率存在时，设直线l：ykxb，抛物线C：y22px(p0).由得ky22py2pb0.当k0时，直线与x轴平行，与抛物线C只有一个交点(相交).当k0时；若0，则直线与抛物线只有一个公共点，相切；若0，则直线与抛物线有两个交点，相交；若0，则直线与抛物线没有交点，相离.(2)当直线的斜率不存在时，设直线方程为xn，抛物线方程为y22px(p0).当n0时，直线与抛物线相切于原点；当n0时，直线与抛物线相离；当n0时，直线与抛物线相交于两点.类型一由直线与圆锥曲线的位置关系确定参数的值例1已知椭圆4x2y21及直线yxm，当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围.反思与感悟求解直线与圆锥曲线的位置关系问题时，常用代数法，即将直线和圆锥曲线的方程联立，消去一个未知数，得到关于x(或y)的一元二次方程，讨论其根的个数，从而知其交点的个数.跟踪训练1已知直线l：kxy20，双曲线C：x24y24，当k为何值时：(1)l与C无公共点？(2)l与C有唯一公共点？(3)l与C有两个不同的公共点？类型二直线与圆锥曲线的弦长问题例2过双曲线x21的左焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|.反思与感悟求解直线与圆锥曲线的弦长问题常用以下两种方法：(1)求出交点A，B的坐标，利用两点间的距离公式；(2)利用弦长公式|AB|.跟踪训练2已知一顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线2xy40所截的弦长为3，求抛物线的方程.类型三中点弦问题例3椭圆C1：y21，椭圆C21(ab0)的一个焦点坐标为(，0)，斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A，B两点，线段AB的中点H的坐标为(2，1).(1)求椭圆C2的方程；(2)设P为椭圆C2上一点，点M，N在椭圆C1上，且2.问：直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.反思与感悟解决中点弦问题主要有如下两种方法：(1)根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解.(2)“点差法”：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B，一般先设出交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1x2，y1y2，x1x2，y1y2，从而建立中点坐标和斜率的关系公式.跟踪训练3过椭圆1内一点M(2,1)引一条弦AB，使AB被点M平分，求弦AB所在直线的方程.1.已知直线ykxk及抛物线y22px(p0)，则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点2.设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|等于()A. B.6 C.12 D.73.过椭圆1内一定点M(1,0)作弦，则弦中点的轨迹方程为_.4.已知曲线C：y22x，若C上存在相异两点关于直线l：ym(x2)对称，则实数m的取值范围是_.5.已知椭圆1，直线l：4x5y400，椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？若存在，求出最小距离；若不存在，请说明理由.在解决圆锥曲线上两点关于直线对称的问题时，这两点的连线就是圆锥曲线的弦，先求弦中点的轨迹方程，然后联立直线方程，求得中点坐标的表达式，再由中点在曲线内部构造出不等式，最后得出答案.处理有关弦的中点轨迹的问题时，常设出弦的中点和端点的坐标，根据端点既在曲线上又在直线上这一条件，结合中点坐标公式，寻找中点和端点坐标之间的联系，其中用端点的坐标表示直线的斜率是常用方法.提醒：完成作业第三章44.3答案精析问题导学知识点一坐标题型探究例1解由得5x22mxm210，4m245(m21)2016m2.直线与椭圆有公共点，0，即2016m20.m.故实数m的取值范围为，.跟踪训练1解由题意，得l：ykx2，代入双曲线C的方程并整理，得(14k2)x216kx200.当14k20时，(16k)24(14k2)(20)16(54k2).(1)当即k或k时，l与C无公共点.(2)当14k20，即k时，方程只有一解；当14k20且0，即k时，方程有两个相同的解.故当k或k时，l与C有唯一公共点.(3)当即k且k时，方程有两个不同的解，即此时l与C有两个不同的公共点.例2解双曲线x21的左焦点为F1(2,0)，直线方程为y(x2).由消去y，得8x24x130.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|x1x2| 3.跟踪训练2解设抛物线方程为y2ax(a0).将y2x4代入并整理，得4x2(16a)x160.设此方程的两根分别为x1，x2，则x1x2，x1x24.又抛物线被直线所截的弦长为3，(3)2(122)(x1x2)24x1x25()216.整理，得a232a1440，a4或a36.故所求抛物线方程为y24x或y236x.例3解(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，H(xH，yH)，则.又直线l的斜率为1，点H的坐标为(2，1)，1，即a22b2.又a2b25，b25，a210，椭圆C2的方程为1.(2)设P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).2，又x2y10，(x12x2)22(y12y2)210，即x2y4(x2y)4x1x28y1y210，又x2y2，x2y2，104x1x28y1y210，即x1x22y1y20.kOMkON.跟踪训练3解设A(x1，y1)，B(x2，y2).M(2,1)为弦AB的中点，x1x24，y1y22.又A，B两点在椭圆上，x4y16，x4y16.将两式相减，得xx4(yy)0，kAB.故弦AB所在直线的方程是(x2)y1，即x2y40.当堂训练1.C2.C3.4x29y24x04.(，)5.解由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交. 设直线m与椭圆相切且平行于直线l，则直线m的方程可以设为4x5yk0.由方程组消去y，得25x28kx