高中数学 第二章 解三角形 1_2 余弦定理(一)学案 北师大版必修5

1.2余弦定理(一)学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题知识点一余弦定理的推导思考1根据勾股定理，若ABC中，C90，则c2a2b2a2b22abcos C试验证式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？思考2在c2a2b22abcos C中，abcos C能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？梳理余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要因为两边及其夹角恰好是平面向量一组基底的条件，所以能把第三边用基底表示进而求出模另外，也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理知识点二余弦定理的呈现形式1a2_，b2_，c2_.2cos _；cos _；cos _.知识点三适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题思考1观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？思考2观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？梳理余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形类型一余弦定理的证明例1已知ABC，BCa，ACb和角C，求解c.反思与感悟所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要考察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方跟踪训练1例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？类型二用余弦定理解三角形命题角度1已知两边及其夹角例2在ABC中，已知b60 cm，c34 cm，A41，解三角形(角度精确到1，边长精确到1 cm)反思与感悟已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角跟踪训练2在ABC中，已知a2，b2，C15，求A.命题角度2已知三边例3在ABC中，已知a134.6 cm，b87.8 cm，c161.7 cm，解三角形(角度精确到1)反思与感悟已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cos A，cos B，cos C求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理跟踪训练3在ABC中，sin Asin Bsin C245，判断三角形的形状1一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是，则三角形的另一边长为()A52 B2 C16 D42在ABC中，a7，b4，c，则ABC的最小角为()A. B. C. D.3如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A. B. C. D.4在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B30，ABC的面积为，那么b等于()A. B1 C. D21利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形(2)已知三边求三角形的任意一角2余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角答案精析问题导学知识点一思考1当abc时，C60，a2b22abcos Cc2c22cccos 60c2，即式仍成立，据此猜想，对一般ABC，都有c2a2b22abcos C.思考2abcos C|C|C|cos，.a2b22abcos C222()22c2.猜想得证知识点二1b2c22bccos Ac2a22cacos Ba2b22abcos C2ABC知识点三思考1每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形思考2每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形题型探究例1解如图，设Ca，Cb，Ac，由ACC，知cab，则|c|2cc(ab)(ab)aabb2aba2b22|a|b|cos C.所以c2a2b22abcos C.跟踪训练1解如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)，BC2b2cos2A2bccos Ac2b2sin2A，即a2b2c22bccos A.同理可证b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.例2解根据余弦定理，a2b2c22bccos A60234226034cos 411 676.78，所以a41(cm)由正弦定理得，sin C0.544 0.因为c不是三角形中最大的边，所以C为锐角，利用计算器可得C33，所以B180(AC)180(4133)106.跟踪训练2解由余弦定理，得c2a2b22abcos C84，所以c.由正弦定理，得sin A，因为ba，所以BA，所以A为锐角，所以A30.例3解cos A0.554 3，A5620.cos B0.839 8，B3253.C180(AB)180(56203253)9047.跟踪训练3解因为abcsin Asin Bsin C245，所以可令a2k，b4k，c5k(k0)c最大，co