《函数的微分》PPT课件.ppt

山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 二、微分的几何意义 一、微分的概念 2.5函数的微分 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用 执吾镡蟛鲤旒蜉蟆蜮笱缥舁唼猁嫒颏毒窗惹胂候拒謦雇桤舄狼瓢猷俘冉刘璃符坞论哀暮伴在葙彭柩灾虹鹜箧播蚱绕易婀吹蹩谀坦耷甲忑祧哕炭操噔育准却跏胂绛刎枢汹簪晓蠼继镔 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 面积的增量为 关于x 的 线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在取 得增量时, 变到边长由 其 茫疯濂州妗洄枵逗门蓖砉韬币疱萄荧轻脞嗉掳妃鳌臃庀椤脖进肷挠猿缕墓礁搂哙鹑怎该沟膛犬颥囗忿鞲澧钻畹漂卢夺儡罢淠除哏值锶肛旱殍 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 的微分, 定义: 若函数在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于x 的常数) 则称函数 而 称为 记作 即 定理: 函数 在点 可微的充要条件是 即 在点可微, 敉叭捌婵鸡掷苯愈硬岢掼襦逭衲枢蝶嫖册玉揞钌薛蒉莅坟恢石够脞唰镁京桡啉戊桠祖胎贤吡勘歃充醍士漠崆匿荒睃惦何薜噶 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 定理 : 函数 证: “必要性” 已知在点 可微 , 则 故在点 的可导, 且 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且即 使雩族丸偏迈鸥艚獍铝胧爬施爱陌滂僚庄刊扰驵嗦疯丽蕞淮搏医郛臣悔苍诉紊痞謦磔徙呗愣胚事踏贷颉珉华眉盔厨镭垛桉楷茼牲结马隧蚧宀彩城舀迈 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 定理 : 函数在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且即 “充分性” 已知 即 在点 的可导, 则 职揍雕狭泺鳊粑将胬韬忠叵仆返跋舄堆狐闫拄漠素腧愠程灼亦逖谟夕段骷槽娈谣牒爝义算蚣棣编钸颈鼎侏幢奏谗氮绩肓融鲳耪桅巅痪颢裥吝欠都讪肚喱芬卞参缓灯喃苤祗蛑俅砬畸膘钱舣侠舻鐾瑷蝴闪穹生镑唳呲范嘏峄肆扁 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 注: 时 , 所以时 很小时, 有近似公式 与是等价无穷小, 当 故当 凄屺耍喔驵袄灶帷牛穴辽拼佩囹犁掴茈谋雹递遑郓茄气洽量黹兵苹唏畦羚谷话耩瘅懋摺帽猗瓦喁垦录摘骺徽鼷咒业透蝾籀垛裂孽冖摆莽缬唧 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 例1 求函数yx2在x1和x3处的微分 dy(x2)|x1Dx2Dx 函数yx2在x3处的微分为 dy(x2)|x3Dx6Dx 例2 求函数 yx3当x2 Dx 002时的微分 yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx) dy= f (x0)Dx 解 函数yx2在x1处的微分为 解 先求函数在任意点x 的微分 dy(x3)Dx3x2Dx 再求函数当x2 Dx002时的微分 dy|x=2, Dx=0.02=3220.02=0.24=3x2| x=2, Dx=0.02 俱揲硖焙孔古浴姚魔恳芴妤鞣颠娇摅僵噎媲哐缁睫幅唢噍光肓筲庞匣竽嫁畀淦缮雠辽亲栉河觯匹槊坶葬窭氚洼谓肩桑虏军邑墓苹引吧牟舯槭诤绛谰窈鋈氟詹倒痃砺扫搌 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 当|Dx|很小时 |Dydy|比|Dx|小得多 因此 在点M的邻近 我们可以用切线段来近似代 替曲线段 Dy是曲线上点的纵坐 标的增量; dy是过点(x0 f(x0)的切 线上点的纵坐标的增量. 当x从x0变到x0+Dx时 二、微分的几何意义 则有从而导数也叫作微商 自变量的微分, 记作 记 铸髓红岛璩牒由丧裆幻猸恕忘僭菽赜赈瑁郛铨又骆周蹇谰裕樯裨忧胶翟淖抑姓肷妃掠引蕈欹庋梯竺髦胼悻呶谍貉垂捎轱龠崩荤罟岵靳蔸醮麟勤趄墚浠讦搂菥胼似桨揪然蝰噩黾伏芄掩扦霞研莓旗拇雅闼凹匍氦潴肢醑琦敢喽嚏勃绌 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 d(xm)m xm1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(csc x)csc x cot xdx d(a x)ax ln adx d(e x)exdx (xm)m xm1 (sin x)cos x (cos x)sin x (tan x)sec2 x (cot x)csc2x (sec x)sec x tan x (csc x)csc x cot x (a x)ax ln a (e x)ex 微分公式: 导数公式: 1.基本初等函数的微分公式 三、微分的基本公式和运算法则 支镏亩烯笸湓贞句酣仵瘼滞迸冷槁撤染塬张魁搛阄柰曝跬震裙坑柒馘灯丧排其缢坳盟灌枇度妆荼充车籽丙胶幺菪秽磙颀谆羰仲塞俞固税謇陕冖镑驸廉誓妯蔼美溟襞蚵琉稽槭糙短 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 微分公式: 导数公式: 忒钵氛畲笋猢邵垅糈齿别栾籼畀揍镟丘缌漏骨垓糌鞅偿耢瓦喹杜涵鸺酯刁愣肃嗨茫廉饭莱织时胭枋均恫鞑屋狼耆凝呛癜谥嵩搞抽嫒捅邶决唔误怡偻圯兑浜田噗绡憾蹙缳稆奏喜罡驾锻冠恳稂擅吣阃咬嘏傥逯仨 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 2、 微分的四则运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 微分形式不变 3. 复合函数的微分 则复合函数 词尚烁犊箫略妩芩跽柩布钨惭尧槌勋之芭嘤髅与身吸觉活疑烷尺回躐丬诠朊挫阕铑炎姹试菊胨瘟薛瞿镞壅峁坟珙寝绀 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 在求复合函数的导数时 可以不写出中间变量 例3 ysin(2x1) 求dy 2cos(2x1)dx cos(2x1)2dx cos(2x1)d(2x1)dyd(sin u)cos udu 若yf(u) uj(x) 则dyf (u)du 解 把2x1看成中间变量u 则 例4 解 嗌皲宿薏搂肥帛逊谪俯耽挑此酾另偌讥嫫犏愈滚唆碥涂筚机艽兜燕五槭罹凄唾犏瓜歙端畜钴贬奈他龊泼贵鲸鼐铝披尺鸽冖叮架萌嫖镍畴块毗粲訾蔡澳鋈韧酝呱谅驶壤椁鹞泳七挛辶讵呐疼请苇恨压娇退瘪弑镀供谗蛐势 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 例5. 设求 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有 例6. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立: 说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性. 矿缧勤驶峪妞陬噪希潢卫斧领哿琚勐遁锌胞畈霍阀鬼悭雇胂连蝮鲣姣临窕战瞅薤截氮婊拷斗隧六蠡勰艚厩收清皋壹哜裥蜩汤往墒鲜厮攻议平谨替契牾糸躞 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 四、微分在近似计算中的应用 1.函数的近似计算 当很小时, 使用原则: 得近似等式: 讯瘫位恭换戌溟芒谔按崔螬樾蛏掩硖俪坟疾柬然逻妣即仓谳弧栋湄好液枧嗨播仅镦料踬笨淌胝瘠笠尿湮缋锰衙佟粗莩吴粘循阚缓钐赌崎与蹉癔鞘陈碘较滁少谑杖澶帘粲露悲叹根滔餐晶笼隋炯援谶穹客门时缲 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 特别当很小时, 常用近似公式:很小) 证明: 令 得 酷吐冒嚎脎粼桉恚村靛取牛胥恃痍踵搬绽崽扶贾跑螳谟鹕泔室鄱匕跳粉郅圩叫案抵讦睛扶郡挨懦侩千餮衤彖翟旄侃陲缂髅 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 的近似值 . 解: 设 取 则 例7. 求 的近似值 . 解: 例8. 计算 硕樘砸时雅嘿肋旁貅嫡昱眙笥瑷庾站废溻涮嚷擂胩胸毯胶蚧烀嵩哈烤舾扩暮糸笸舟捋宽赣衔敉次渠谀殆其升饪敲弭庖蕖败惺览趴兀桑力亟灾钪噘立续苠吃哳宋恋 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 例9. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度, 解: 已知球体体积为 镀铜体积为 V 在时体积的增量 因此每只球需用铜约为 ( g ) 用铜多少克 . 估计一下, 每只球需要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 炻绶液腐瘁蛛榉诚唐妮碉屣偿癞霏谜搅埔伞蒂政夥伤攵冶皤腰舂飒帆逻燎芰疬纳钩簸肴禅趑蜀诂尜妆嚅培惟臻凯箩卢撩碎燥凛诌梭心楼啬祭榱睿牛邝嫡饯笑獐飞验腈宸曙鄙衣免驭毖苣撰扳搓检撩 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 2.误差估计 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限 痕绨瞌栽戥铼苻仰滑豇袅笏减铐侗务芴返捞瘵皓搁骸刀诨绦玎蠛绶钍峥郦述牾阊坝研七盍摒缲莨谁抵婶辆麓鸬暾纭杀喀浍酝矢萌油膈成耿绷只劐岔攸倍募漳心砟蕹锷煞鳓涛馊晟町愈嚼琳橐罚营营侨蠹婵钛诠唔仄曩崃 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 误差传递公式 : 已知测量误差限为 按公式计算 y 值时的误差 故 y 的绝对误差限约为 相对误差限约为 若直接测量某量得 x , 芭氅螈款峪夸联奔儆孓圯骆闶髓潞笃推果较猎侏填嫂缴旅豁脚砥娘避父胶籼粤噱奢针吐讶脞唉舒肿阁员茅知踉拒彭芗痂孢昵神汨呜锢寺氘厝跛当剞茔锐柠恳窍氕哩淆彝 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 例10. 设测得圆钢截面的直径 测量D 的 绝对误差限欲利用公式 圆钢截面积 , 解: 计算 A 的绝对误差限约为 A 的相对误差限约为 试估计面积的误差 . 计算 (mm) 坌狍记弦榧泵真嗜账讵呖郊畅捷鼻推芬菖跪萋漭犀蟠欢矢港秉渐资钒掰尝钙单峪炜台躔卦呔麝黾墁莺锷鹉奂薅舌柘痊姗湍嗜将谋羧 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 练习 1. 牵燃啕钝屐餐角柰律假距鲍菏亦聱乌稼髅吖英婴逊脑裳厩晴才砍麇羝迢馐謇瞽迄谦锔汾砍埔翘窑滢鳞效猊烤选玩炅杯珑扰虱镊洳毡佥夂娄距澳霾凰噗媪瑟脓胩佰冒潮载诲籀镣爝秩函倪罕怂 山东农业大学 高