高考数学 数学思想的应用情形归纳 第08讲 函数方程思想情形之12-141

第08讲：函数方程思想情形之12-14【知识要点】 一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等. 二、函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容.函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言讲问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.三、函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的，有时，还实现函数与方程的互相转化，接轨，达到解决问题的目的.四、本讲讲了函数方程思想情形之12-14, 情形12：复数中的函数方程思想；情形13：统计中的函数方程思想；14：实际问题中的函数方程思想.【方法讲评】函数方程情形十二复数中的函数方程思想复数中，与复数实部、虚部、复数的模等求值有关的计算，多利用方程的思想解答.与取值范围、最值有关的问题，多利用函数的思想分析解答，先建立函数的模型，再研究函数的取值范围和最值.【例1】设z是虚数，是实数，且.（1）求的值及z的实部的取值范围.（2）设，求的最小值.【解析】（1）设且，则是实数，又是虚数，即，即，故z的实部取值范围； 【点评】（1）本题第1问求的值，利用了方程的思想. （2）本题第2问求的最小值，利用了函数的思想，先建立函数的模型，再利用基本不等式求函数的最小值.可见，函数思想是无处不在的，特别是与最值、取值范围和值域有关的问题，更要想到函数的思想来分析解答. 【反馈检测1】设复数z满足4z23i，sinicos(R)求z的值和|z|的取值范围函数方程情形十三统计中的函数方程思想统计中的最值问题，多用函数的思想分析解答，先建立函数的模型，再研究函数的取值范围和最值.【例2】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，3，.8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值46.65636.8289.81.61469108.8表中： .（）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（）根据（I）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；（）已知这种产品的年利润与，的关系为，根据（II）的结果回答下列问题：（i）当年宣传费=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？并求出最大值【解析】（）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；（）令，先建立关于的线性回归方程，由于，（ii）根据（）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68）=+13.6+20.12，当=6.8，即=46.24千元时，年利润的预报值最大【点评】（1）本题第2问建立关于的回归方程，利用了方程的思想. (2)本题的第3问求年利润的预报值最大值，利用了函数的思想，先建立函数模型年利润z的预报值=+13.6+20.12，再利用二次函数求函数的最大值.【反馈检测2】某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润保费收入）的频率分布直方图如图所示：（）试估计平均收益率；x-+k.w（）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加元，对应的销量（万份）与（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5组与的对应数据：据此计算出的回归方程为.（i）求参数的估计值；（ii）若把回归方程当作与的线性关系，用（）中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收益.函数方程情形十四实际问题中的函数方程思想实际问题中的求某些参数的值，多利用方程的思想分析解答.实际问题中的最值问题，多用函数的思想分析解答，先建立函数的模型，再研究函数的取值范围和最值.【例3】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（）求的值及的表达式；（）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值.【解析】（）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为. 再由，得， 因此. 而建造费用为的最小值为.当隔热层修建厚时， 总费用达到最小值为70万元.【点评】（1）本题第1问求的值及的表达式，利用了方程的思想. （2）本题第2问主要考察函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，利用了函数的思想.（3）理解函数的含义并求出函数的表达式是此题的关键点.【反馈检测3】为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品（）当时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？函数方程思想在高中数学中的应用情形归纳 第04讲：函数方程思想思想情形之12-14参考答案【反馈检测1答案】zi ；0|z|2.【反馈检测1详细解析】设zabi(a，bR)，则abi，代入4z23i，得4(abi)2(a1sin1，022sin4.0|z|2.【反馈检测2答案】（）;（）（i）,（ii）见解析.【反馈检测2详细解析】（）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，平均收益率为 .x-k=w（）（i） 所以（ii）设每份保单的保费为元，则销量为，则保费收入为 万元， 当元时，保费收入最大为360万元，保险公司预计获利为万元.【反馈检测3答案】（1）国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损； （2）所以当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少【反馈检测3详细解析】（）当时，设该