高考数学二轮复习 6个解答题专项强化练（三）解析几何

6个解答题专项强化练(三)解析几何1已知圆M：x2y22xa0.(1)若a8，过点P(4,5)作圆M的切线，求该切线方程；(2)若AB为圆M的任意一条直径，且6(其中O为坐标原点)，求圆M的半径解：(1)若a8，则圆M的标准方程为(x1)2y29，圆心M(1，0)，半径为3.若切线斜率不存在，圆心M到直线x4的距离为3，所以直线x4为圆M的一条切线；若切线斜率存在，设切线方程为y5k(x4)，即kxy4k50，则圆心到直线的距离为3，解得k，即切线方程为8x15y430.所以切线方程为x4或8x15y430.(2)圆M的方程可化为(x1)2y21a，圆心M(1，0)，则OM1，半径r(ab0)的左焦点为F(1，0)，且经过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的弦AB过点F，且与x轴不垂直若D为x轴上的一点，DADB，求的值解：(1)法一：由题意，得解得所以椭圆的标准方程为1.法二：由题意，知2a4，所以a2. 又c1，a2b2c2，所以b，所以椭圆的标准方程为1. (2)法一：设直线AB的方程为yk(x1)当k0时，AB2a4，FDFO1，所以4；当k0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，把直线AB的方程代入椭圆方程，整理得(34k2)x28k2x4k2120，所以x1x2，x1x2，所以x0， 所以y0k(x01)， 所以AB的垂直平分线方程为y.因为DADB，所以点D为AB的垂直平分线与x轴的交点，所以D，所以DF1. 又因为AB|x1x2|，所以4.综上，得的值为4. 法二：若直线AB与x轴重合，则4；若直线AB不与x轴重合，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由两式相减得0，所以0，所以直线AB的斜率为， 所以直线AB的垂直平分线方程为yy0(xx0)因为DADB，所以点D为AB的垂直平分线与x轴的交点，所以D，所以DF1. 因为椭圆的左准线的方程为x4，离心率为，由，得AF(x14)，同理BF(x24)所以ABAFBF(x1x2)4x04，所以4. 综上，得的值为4.3.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点分别为A，B，M为线段AB的中点，且b2.(1)求椭圆的离心率；(2)若a2，四边形ABCD内接于椭圆，ABDC.记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值解：(1)由题意，A(a,0)，B(0，b)，由M为线段AB的中点得M.所以，(a，b)因为b2，所以(a，b)b2，整理得a24b2，即a2b. 因为a2b2c2，所以3a24c2，即a2c.所以椭圆的离心率e. (2)证明：法一：由a2得b1，故椭圆方程为y21.从而A(2,0)，B(0,1)，直线AB的斜率为.因为ABDC，故可设DC的方程为yxm，D(x1，y1)，C(x2，y2)联立方程消去y，得x22mx2m220，所以x1x22m，从而x12mx2.直线AD的斜率k1，直线BC的斜率k2，所以k1k2，即k1k2为定值.法二：由a2得b1，故椭圆方程为y21.从而A(2,0)，B(0,1)，直线AB的斜率为.设C(x0，y0)，则y1.因为ABCD，故CD的方程为y(xx0)y0.联立方程消去y，得x2(x02y0)x2x0y00，解得xx0或x2y0.所以点D的坐标为.所以k1k2，即k1k2为定值.4.已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F(1,0)，左准线方程为x2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知直线l交椭圆C于A，B两点若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足，.求证：为定值；若A，B两点满足OAOB(O为坐标原点)，求AOB面积的取值范围解：(1)由题设知c1，2，解得a22，b21，椭圆C的标准方程为y21.(2)证明：由题设知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x1)，则P(0，k)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线l的方程代入椭圆的方程得x22k2(x1)22，整理得(12k2)x24k2x2k220，x1x2，x1x2.由，知，4(定值)当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，易知AOB的面积S，当直线OA，OB的斜率均存在且不为零时，设OA：ykx，OB：yx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将ykx代入椭圆C得到x22k2x22，x，y，同理x，y，故AOB的面积S.令tk21(1，)，故S.再令u(0,1)，则S.综上所述，S.5.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P在x轴上方)(1)若QF2FP，求直线l的方程；(2)设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2.是否存在常数，使得k1k2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)因为a24，b23，所以c1，所以F的坐标为(1,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为xmy1，代入椭圆方程，消去x，得(43m2)y26my90，则y1，y2.若QF2FP，则y22y1，即y22y10，所以20，解得m，故直线l的方程为x2y0. (2)由(1)知，y1y2，y1y2，所以my1y2(y1y2), 所以，故存在常数，使得k1k2.6.如图，已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e，左准线方程为x8.(1)求椭圆的方程； (2)过F1的直线交椭圆于A，B两点，I1，I2分别为F1AF2，F1BF2的内心. 求四边形F1I1F2I2与AF2B的面积比；是否存在定点C，使为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由解：(1)由题意解得a4，c2，故b2，所以椭圆的方程为1.(2)设F1AF2的内切圆半径为r，则SF1I1F2F1F2r2cr2r，SF1AF2(AF1AF2F1F2)r(2a2c)r6r，SF1I1F2SF1AF213，同理SF1I2F2SF1BF213，S四边形F1I1F2I2SAF2B13.假设存在定点C(s，t)，使得为常数若直线AB存在斜率，设AB的方程为yk(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程消去y，得(34k2)x216k2x16k2480，由此得x1x2，x1x2，(x1s，y1t)(x2s，y2t)(x1s)(x2s)(y1t)(y2t)(x1s)(x2s)k(x12)tk(x22)t(1k2)x1x2(2k2tks)(x1x2)s2t24k24tks2t24k24tks2t24s5.与k无关，即此时；若直线AB不