高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2_6 距离的计算教学案 北师大版选修2-1

6 距离的计算 点到直线的距离如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点如图，作AAl，垂足为A.问题1：点A到直线l的距离与线段AA的长度有何关系？提示：相等问题2：若s0为s的单位向量，你能得出在s上的投影长吗？提示：向量在s上的投影长为|cos，s|s0|.问题3：设点A到直线l的距离为d，你能根据问题2的答案写出d的表达式吗？提示：d|AA| .点到直线的距离设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点，向量在s上的投影的大小为|s0|，则点A到直线l的距离d .点到平面的距离如图，设是过点P垂直于向量n的平面，A是平面外一定点作AA，垂足为A.问题1：点A到平面的距离d与线段AA的长度有何关系？提示：相等问题2：n0是n的单位向量，则向量在向量n上的投影大小是什么？与|AA|相等吗？提示：|n0|，相等点到平面的距离设n为过点P的平面的一个法向量，A是该平面外一定点，向量在n上的投影的大小为|n0|，则点A到该平面的距离d|n0|.1用向量法求点到直线的距离，在直线上选点时，可视情况灵活选择，原则是便于计算，s0是s的单位向量， s0.2用向量法求点到平面的距离，关键是找到平面的法向量和平面的斜线段的方向向量 点到直线的距离例1如图，在空间直角坐标系中，有长方体ABCDABCD，AB2，BC3，AA4，求点B到直线AC的距离思路点拨用点到直线的距离公式计算点B到直线AC的距离D.精解详析因为AB2，BC3，AA4，所以B(2,0,0)，C(2,3,0)，A(0,0,4)(0,0,4)(2,3,0)(2，3,4)(2,0,0)(2,3,0)(0，3,0)所以在上的投影：(0，3,0)(0，3,0)0(3)0；所以点B到直线AC的距离为d .一点通1用向量法求直线外一点A到直线l的距离的步骤(1)确定直线l的方向向量s及s0；(2)在l上找一点P，计算的长度；(3)计算s0的值；(4)由公式d 求解2用向量法求点到直线的距离的好处在于回避了用直接法求距离的难点(即过A1点作l的垂线，难在垂足的位置的确定)1已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在的直线间的距离为()A.aBaC.a D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)(0，a，a)，(a,0，a)|a，|a.点A1到BC1的距离d a.答案：A2正方体A1B1C1D1ABCD中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到EF的距离解：以D点为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图设DA2，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1，0,2)，则(1，2,1)，(1,0，2)，|，110(2)(2)11，在上的投影长.点A到EF的距离 .求点到平面的距离例2如图，已知ABC是以ABC为直角的直角三角形，SA平面ABC，SABC2，AB4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，求A到平面SND的距离思路点拨建立空间直角坐标系，用向量法求点到面的距离精解详析建立如图所示的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(1,4,0)，(0，2,2)，(1,4，2)设平面SND的法向量为n(x，y,1)n0，n0，n(2,1,1)(0,0,2)A到平面SND的距离为.一点通用向量法求平面外一点A到平面的距离的步骤：(1)计算平面的法向量n及n0；(2)在平面上找一点P，计算；(3)由公式计算d|n0|.利用这种方法求点到平面的距离，不必作出垂线段，只需求出垂线段对应的向量和平面的法向量，代入公式求解即可3已知PD正方形ABCD所在平面，PDAD1，则C到平面PAB的距离d()A1B.C.D.解析：以D为原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，(1,0,1)，(0,1,0)，(1,1,0)，设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，即令x1，则z1，n(1,0,1)d.答案：C4在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB2，AA11，则点A到平面A1BC的距离为_.解析：建立如图所示的空间直角坐标系A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,1)，(，1，1)，(0,2，1)设平面A1BC的法向量n(x，y，z)，则即令y3，则n(，3,6)，n0.又(0,0,1)，d|n0|.答案：5.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离解：建立空间直角坐标系如图，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，(0,1,0)，(2,1,1)，(1，1,2)设n(x，y，z)是平面GEF的法向量，点A到平面EFG的距离为d，则令z1，则n(1,1,1)，d.即点A到平面EFG的距离为.1空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离2空间一点A到直线l的距离的算法：3空间一点A到平面的距离的算法： 1已知平面的一个法向量n(2，2,1)，点A(2，1,0)在内，则P(1,3，2)到的距离为()A10B3C.D.解析：(1，4,2)，又平面的一个法向量为n(2，2,1)，所以P到的距离为.答案：C2正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，点M在上且，N为B1B的中点，则|为()A.a B.a C.a D.a解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)点M在上且.(xa，y，z)(x，ay，az)，xa，y，z.于是M.| a.答案：A3.如图，PABCD是正四棱锥，ABCDA1B1C1D1是正方体，其中AB2，PA，则B1到平面PAD的距离为()A6B.C. D.解析：以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系，设平面PAD的法向量是n(x，y，z)，由题意知，B1(2,0,0)，A(0,0,2)，D(0,2,2)，P(1,1,4)(0,2,0)，(1,1,2)，n0，且n0.y0，xy2z0，取z1，得n(2,0,1)(2,0,2)，B1到平面PAD的距离d.答案：C4在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为()A.B.C.D.解析：如图，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)(2,2,0)，(2,0，4)，(0,0,4)，设n(x，y，z)是平面AB1D1的一个法向量，则n，n，即令z1，则平面AB1D1的一个法向量为n(2，2,1)由在n上射影可得A1到平面AB1D1的距离为d.答案：C5如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，则，(0,1,0)，(0,1，1)，设平面ABC1的法向量为n(x，y,1)，则有，解得n，则d|.答案：6如图所示，正方体的棱长为1，E，F，M，N分别是棱的中点，则平面A1EF与平面B1NMD1的距离为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0)，B1(1,1,0)，E，F，D1(0,0,0)，M，N.E，F，M，N分别是棱的中点，MNEF，A1EB1N.平面A1EF平面B1NMD1.平面A1EF与平面B1NMD1的距离即为A1到平面B1NMD1的距离设平面B1NMD1的法向量为n(x，y，z)，n0，且n0.即(x，y，z)(1,1,0)0，且(x，y，z)0.xy0，且xz0，令x2，则y2，z1.n(2，2,1)，n0.A1到平面B1NMD1的距离为d|n0|.答案：7.如图，已知正方形ABCD，边长为1，过D作PD平面ABCD，且PD1，E，F分别是AB和BC的中点求直线AC到平面PEF的距离解：由题意知直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，P(0,0,1)，E，F，.设n(x，y，z)是平面PEF的一个法向量，则由得令x1，则y1，z，n.又(1,0,1)，d.8.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB4，BC2，CC13，BE1.求点C到平面AEC1F的距离解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)设n为平面AEC1F的法向量，显然n不垂直于平面ADF，故可设n(x，y,1)由得即n.又(0,0,3)C到平面AEC1F的距离为d.对应学生用书P42一、空间向量的概念与运算1空间向量有关概念与平面向量的有关概念类似，对基本概念的理解要做到全面、准确、深入2空间向量的运算包括加、减、数乘及数量积运算，其中加、减、数乘运算称为线性运算，结果仍为向量，加减算法可运用平行四边形法则与三角形法则进行运算；数量积运算结果为实数，运用数量积可解决长度、夹角与距离等问题二、向量的坐标表示与运算和空间向量基本定理1选定空间不共面的向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，是空间向量基本定理的具体体现2空间向量的坐标表示与运算是解决立体几何中的夹角、长度、距离等问题的关键，要熟记公式三、空间向量与平行和垂直利用空间向量解决空间中的位置关系的常用方法为：1线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量2线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，利用abab0.3线面平行：用向量证明线面平行的方法主要有：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(需说明直线不在平面内)；(2)证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量(需说明直线不在平面内)；(3)利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示出来(需说明直线不在平面内)4线面垂直：用向量证明线面垂直的方法主要有：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量平行；(2)证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直5面面平行：(1)证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；(2)证明一个平面内的两个不共线向量与另一平面平行6面面垂直：(1)证明两个平面的法向量互相垂直；(2)证明一个平面内某直线的方向向量是另一平面的法向量四、空间向量与空间角1求两异面直线的夹角可利用公式cosa，b，但务必注意两异面直线夹角的范围是，而两向量之间的夹角的范围是0，故实质上应有cos |cosa，b|.2求线面角：求直线与平面的夹角时，一种方法是先求出直线及此直线在平面内的投影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面的夹角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角，即可求出直线与平面的夹角，其关系是sin |cos |.3求两平面间的夹角：利用空间直角坐标系求得两个平面的法向量n1，n2，代入cosn1，n2当cosn1，n20时，两平面的夹角为n1，n2，当cosn1，n20时，两平面的夹角为n1，n2五、空间距离的计算主要掌握点到直线的距离与点到平面的距离，利用直线的方向向量与平面的法向量求解1若直线l的方向向量为s，s0，点P是直线l上的点，点A是直线外任一点，则点A到直线l的距离d .2若n0为平面的单位法向量，点P是平面内一点，点A是平面外一点，则点A到该平面的距离d|n0|.(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设a(x,4,3)，b(3,2，z)，若ab，则xz()A4B9C9 D.解析：ab，.x6，z.xz9.答案：B2.如图所示，已知四面体ABCD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AC的中点，则()()A BC D解析：()()，又，().答案：C3P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的()A外心 B内心C重心 D垂心解析：，()0，即0，.同理()0，0，P是ABC的垂心答案：D4已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A. B.C. D.解析：设平面ABC的法向量为n(x，y，z)则n0，即(x，y，z)(1,1,0)0，xy0.n0，即(x，y，z)(0，1,1)0，yz0，令x1，则y1，z1，n(1,1,1)，与n平行的单位向量为或.答案：D5已知空间四个点A(1,1,1)，B(4,0,2)，C(3，1,0)，D(1,0,4)，则直线AD与平面ABC的夹角为()A30 B45C60 D90解析：设n(x，y,1)是平面ABC的一个法向量(5，1,1)，(4，2，1)，n.又(2，1,3)，设AD与平面ABC所成的角为，则sin ，30.答案：A6已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD夹角的余弦值为()A. B.C. D.解析：建立如图所示的空间直角坐标系令正四棱锥的棱长为2，则A(1，1,0)，D(1，1,0)，S(0,0，)，E，(1，1，)，cos，AE、SD夹角的余弦值为.答案：C7.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH的夹角等于()A45B60C90 D120解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，则E，F，G，H，cos.EF与GH的夹角为60.答案：B8正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的余弦值为()A. B.C. D.解析：以A为坐标原点，以AB，AD，AA1分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则C1(1，1,1)，A1(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0,1,0)(1,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，0，0，即为平面A1BD的法向量设BC1与面A1BD夹角为，又(0,1,1)，则sin ，cos .答案：C9在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是()A.a B.aC.a D.a解析：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(a，a,0)，M，A1(a,0，a)(a，a,0)，.设平面BDM的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，得x1，y1.n(1,1,2)，n0.A1到平面BDM的距离为d|n0|a.答案：A10三棱锥OABC中，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xyz，则(x，y，z)为()A. B.C. D.解析：()()()，而xyz，x，y，z.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确的答案填在题中的横线上)11已知正方体ABCDABCD中，点F是侧面CDDC的中心，若xy，则xy_.解析：如图，()()，又xy，x，y，即xy0.答案：012已知向量a(3,2,5)，b(1，x，1)，且ab2，则x的值为_解析：a(3,2,5)，b(1，x，1)，且ab2，312x5(1)2，x5.答案：513如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则点E到平面ABC1D1的距离是_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，正方体的棱长为1，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，E.设平面ABC1D1的法向量为n(x，y，z)n0，且n0，即(x，y，z)(0,1,0)0，且(x，y，z)(1,0,1)0.y0，且xz0，令x1，则z1，n(1,0,1)n0，又，点E到平面ABC1D1的距离为|n0|.答案：14. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1的夹角的正弦值为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系则A(2,0,0)，C1(0,2,1)，A1(2,0,1)，(2,2,1)，(0,0,1)由长方体的性质知平面A1B1C1D1的法向量为(0，0,1)cos，AC1与平面A1B1C1D1的夹角的正弦值为.答案：三、解答题(本大题共4小题，共50分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)已知a(3,5，4)，b(2,1,2)求：(1)ab；(2)a与b夹角的余弦值；(3)确定，的值使得ab与z轴垂直，且(ab)(ab)77.解：(1)ab(3,5，4)(2,1,2)3251(4)23.(2)|a|5，|b|3.cosa，b.(3)取z轴上的单位向量n(0,0,1)，ab(5,6，2)依题意，得即化简整理，得解得16(本小题满分12分)四棱锥PABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)(1)求证：PA底面ABCD；(2)求四棱锥PABCD的体积解：(1)证明：2240，APAB.又4400，APAD.AB，AD是底面ABCD上的两条相交直线，AP底面ABCD.(2)设与的夹角为，则cos .V|sin | 16.17(本小题满分12分)如图所