高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第93讲 极坐标系与参数方程问题的处理

第93讲 极坐标系与参数方程问题的处理【知识要点】一、在平面内取一个定点为极点，引一条射线为叫做极轴，再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.对于平面内的点，设， ，称、为点的极径、极角，有序数对就叫做的极坐标.二、直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点的直角坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到： （求点的直角坐标的公式），（求点的极坐标的公式,求极角时要先定位后定量）.表示过原点且倾斜角为的直线, 表示过原点且倾斜角为的向上的射线.三、参数方程的定义：一般地，在平面直角坐标中，如果曲线上任一点的坐标都是某个变数的函数，反过来，对于的每个允许值，由函数式所确定的点都在曲线上，那么方程叫做曲线的参数方程，联系变数的变数是参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的叫普通方程四、常见曲线的参数方程：（1）圆的参数方程为 （为参数）；（2）椭圆的参数方程为 （为参数）；（3）双曲线的参数方程 （为参数）；（4）抛物线参数方程 为参数）；（5）过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.当动点在定点上方时,. 当动点在定点下方时,.【方法讲评】方法一转化法解题步骤先把已知条件都化成直角坐标，再利用解析几何的知识解答.【例1】【2017课标3，理科22】在直角坐标系xoy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos+sin)=0，M为l3与C的交点，求M的极径.【点评】本题就是转化法解答极坐标与参数方程问题的典型例子.第2问直接把条件化成直角坐标再解答，比较直接，解题效率也比较高. 【反馈检测1】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）求曲线和公共弦的长度方法二用极坐标解决解析几何问题解题步骤把已知条件化成极坐标，再利用极坐标的知识解答.【例2】【2017课标II，理22】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足,求点的轨迹的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值.（2）设点的极坐标为,由题设知,当时，S取得最大值，所以OAB面积的最大值为. 【点评】(1)本题的两问，如果用直角坐标来解答，思路难找，计算量大，解题效率低. 如果用极坐标来解答，问题就简单了很多. (2)怎么联想到利用极坐标解答呢？因为已知里面有信息，譬如，第1问中，就是点的极径，就是点的极径，并且点的极角相同，所以用极坐标解答就自然了，所以我们要注意观察已知的信息. 第2小问的观察和思维类似. 【反馈检测2】在直角坐标系中，曲线，曲线为参数）， 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线的极坐标方程；（2）若射线分别交于两点， 求的最大值 方法三用圆锥曲线参数方程解决解析几何的问题解题步骤先把某些已知条件化成参数方程，再利用参数方程的知识解答.【例3】【2017课标1，理22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为.（1）若，求与的交点坐标；（2）若上的点到的距离的最大值为，求.从而与的交点坐标为，.【点评】(1)本题就是利用圆锥曲线解决解析几何问题的典型例子.本题如果把已知条件都化成直角坐标再解答，计算量比较复杂，解题效率比较低. 但是如果利用圆锥参数方程设点的坐标，再利用三角函数的知识来解答，计算量小，解题效率高了很多. (2)圆锥曲线的参数方程的一个重要作用就是设点.所以一般情况下，设点有三种方式，一是利用直角坐标设点，这是最普遍的一种.二是利用参数方程设点，三是利用极坐标设点，大家要注意灵活选用.【反馈检测3】（2016年全国III高考）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.方法四用直线参数方程解决解析几何的问题解题步骤先把某些已知条件化成参数方程，再利用参数方程的知识解答.【例4】在直角坐标系中，直线的参数方程为.在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求.【点评】（1）直线参数方程中参数的几何意义是这样的：如果点在定点的上方，则点对应的参数就表示点到点的距离,即.如果点在定点的下方，则点对应的参数就表示点到点的距离的相反数，即.（2）由 直线参数方程中参数的几何意义得：如果求直线上两点间的距离,不管两点在哪里，总有.【反馈检测4】在极坐标系中，曲线的方程为，点以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系（1）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于、两点，求的值【反馈检测5】在直角坐标系中，直线过，倾斜角为（）以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知直线与曲线交于、两点，且，求直线的斜率高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第93讲：极坐标系与参数方程问题的处理参考答案【反馈检测1答案】（1）,；（2）.【反馈检测2答案】（1）(cossin)4，2cos；（2）(1).【反馈检测2详细解析】（1）C1：(cossin)4，C2的普通方程为(x1)2y21，所以2cos （2）设A(1，)，B(2，)，则1，22cos， 2cos(cossin)(cos2sin21)cos(2)1， 当时，取得最大值(1) 【反馈检测3答案】(1)；（2）最小值为，此时的坐标为.【反馈检测3详细解析】(1)的普通方程为,的直角坐标方程为.(2)由题意，可设点P的直角坐标为，因为是直线，所以|PQ|的最小值，即为P到的距离的最小值, .当且仅当时，取得最小值，最小值为此时P的直角坐标为.【反馈检测4答案】（1），；（2）.【反馈检测5答案】（1），；（2）.【反馈检测5详细解析】（1）直线的参数