九年级数学下册 2_3《确定二次函数的表达式》典型例题1 （新版）北师大版

确定二次函数的表达式典型例题例1 已知二次函数，当x4时有最小值-3，且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式。例2 求函数解析式的题目(1)已知二次函数的图象经过点(-1，-6)，(1，-2)和(2，3)，求这个二次函数的解析式。(2)已知抛物线的顶点为，与轴交点为，求此抛物线的解析式。(3)已知抛物线与轴交于，并经过点，求抛物线的解析式。例3 已知二次函数的图象与x轴相交于点，顶点B的纵坐标是3。(1)求此二次函数的解析式；(2)若一次函数的图象与x的轴相交于，且经过此二次函数的图象的顶点B，当时，()求的取值范围；()求(O为坐标原点)面积的最小值与最大值。参考答案例1 分析：因为二次函数当x=4时有最小值-3，所以顶点坐标为(4，-3)，对称轴为x=4，抛物线开口向上图象与x轴交点的横坐标为1，即抛物线过(1，0)点又根据对称性，图象与x轴另一个交点的坐标为(7，0)有下面的草图：解：此题可用以下四种方法求出解析式。方法一：因为抛物线的对称轴是x4，抛物线与轴的一个交点为(1，0)，由对称性可知另一点为(7，0)，同例1，抛物线y=ax2bxc通过(4，-3)、(1，0)、(7，0)三点，由此列出一个含a、b、c的三元一次方程组，可解出a、b、c来。方法二：由于二次函数当x=4时有最小值-3，又抛物线通过(1，0)点，所以由上面的方程组解出a、b、c。方法三：由于抛物线的顶点坐标已知，可以设二次函数式为y=a(x+h)2+k，其中h=-4，k=-3即有y=a(x-4)2-3，式中只有一个待定系数a，再利用抛物线通过(1，0)或通过(7，0)求出a来。 即得出。 所求二次函数解析式为。方法四：由于抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1=1，x2=7可以采用双根式y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1=1，x2=7即有y=a(x-1)(x-7)式中只有待定系数a，再把顶点(4,-3)代入上式得:所求二次函数解析式为。例2 (1)解：设二次函数的解析式为将(-1，-6)、(1，-2)和(2，3)分别代入，得 解得所以二次函数的解析式为(2)解：因为抛物线的顶点为，设其解析式为将代入得，所求抛物线的解析式为即(3)解：因为点，是抛物线与轴的交点，所以设抛物线的解析式为将代入，得，所求抛物线解析式为即说明：此三题考查用待定系数法求抛物线的解析式，关键是根据已知条件选择正确解析式的三种形式，将给我们做题带来很大的方便。(1)中给出抛物线上任意三点，所以选择一般式；(2)中给出顶点，所以选择顶点式；(3) 中给出与轴的两个交点，所以选择两根式。例3 分析：(1)由已知条件可知，抛物线的顶点坐标是(3，3)，所以可设出抛物线的顶点式，再把已知点的坐标代入解析式，即可求得。(2)因为当取最小值时，也取最小值；当取最大值时，也取最大值。所以把的最大值和最小值代入直线的解析式，即可求出的取值范围。解：(1)二次函数的图象经过原点O(0，0)与点A(6，0)，它的对称轴是。它的顶点B的坐标是(3，3)。设此二次函数为，把(6，0)代入解析式得，故所求二次函数的解析式为 。(2)()令得直线的解析式为，把(3，3)代入得，故直线的解析式为。令，得。令得直线的解析式为，把(3，3)代入得，故直线的解析式为，令，则得。故的取值范围是。()的OD边上的高(即B点的纵坐标的绝对值)为定值3，故OD最小，则面积最小，OD最大，则面积最大。OD最小为1，最大为2，故的面积最小是，最大为3。