九年级数学下册2_3确定二次函数的表达式确定二次函数关系式的常见题型及解法素材新版北师大版

确定二次函数关系式的常见题型及解法确定二次函数的关系式，既是数学教学重点，也是教学的难点，学生学习不易掌握在全国各地的中考考试中是必考内容，它可出现在选择题、填空题中，而且基本上都会出现在最后的压轴题中。解题的基本思想方法是待定系数法和数形结合方法，根据题目给出的具体条件或结合图形，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数下面就确定二次函数关系式的常见题型及解法如下。一、定义型：此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a 0； 2、x的最高次数为2次例1、若 是二次函数，则m = 解：由m2+ m0得:m 0，且 m 1由m22m 1 = 2得m =1 或m =3 m = 3 练习 1.若是关于x的二次函数，则a= 二、开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一例2、写出一个开口向下的二次函数的表达式_分析：根据给出的条件，所以这道题只需满足中的a0即可,如y=-x2+2x+1（注：答案不唯一）练习 1.写出一个对称轴为x=2的二次函数的表达式_三、平移型：将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a(x-h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x +h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m其平移的规律是：h值左负右正；k值上正下负（或左加右减、上加下减）由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变例3.将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（）Ay=（x1）2+3BB.y=（x+1）2+3Cy=（x1）23DD.y=（x+1）23考点：二次函数图象与几何变换分析：由二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，根据平移的性质，即可求得所得图象的函数解析式注意二次函数平移的规律为：左加右减，上加下减解答：解：二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的函数解析式是：y=（x1）2+3故选A点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键例4.抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( )A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位【答案】B练习 1.把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是( )(A)y=(x+2)2+2 (B)y=(x+2)2-2 (C)y=x2+2 (D)y=x2-2分析：根据平移概念，图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线顶点移动.即（-1，0）（0，2）.解答：根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减.”故选D2.将抛物线y=（x1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）Ay=（x2）2By=（x2）2+6Cy=x2+6Dy=x2分析：根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可解答：解：将抛物线y=（x1）2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y=（x1+1）2+3，即y=x2+3；再向下平移3个单位为：y=x2+33，即y=x2故选D点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键四、用待定系数法确定二次函数关系式例5. 抛物线y=a（x1）2+4经过点A（1，0），求该抛物线的解析式。分析：将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式；解答：解：（1）将A（1，0）代入y=a（x1）2+4中，得：0=4a+4，解得：a=1，则抛物线解析式为y=（x1）2+4；例6.已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，3），求此二次函数的解析式。分析：利用待定系数法把A（1，0），C（0，3）代入）二次函数y=x2+bx+c中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式是y=x2+2x3；解答：解：二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，3），解得，二次函数的解析式为y=x2+2x3；（一）顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式这顶点坐标为（h，k），对称轴方程x = h，极值为当x = h时，y极值=k来求出相应的系数；例7.抛物线与x轴交于A，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=，求抛物线的解析式。分析：根据抛物线的对称轴得到抛物线的顶点式，然后代入已知的两点再由待定系数法求解即可；解答：解：设抛物线的解析式把A（2，0）C（0，3）代入得：解得：即练习 ：1.二次函数的图象过点(3,0)，(2,-3)两点，对称轴为x=1，求这个二次函数解析式解 设这个二次函数解析式为y=a(x-1)2+n，由已知，得解之，得所求的二次函数解析式为y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3注 当已知二次函数的图象的对称轴为x=x0时，可设它的解析式为y=a(x-x0)2+n，这样只需求两个特定系数a，n2.下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )Ay = (x 2)2 + 1 By = (x + 2)2 + 1Cy = (x 2)2 3 Dy = (x + 2)2 3【答案】C3.已知二次函数yax2bxc的图象顶点坐标为(2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式4抛物线yax2bxc的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式（二）两根式已知图像与 x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值例8 已知二次函数的图象y=x2+bx+c经过点A（3，0），B（1，0）求这个二次函数解析式分析：根据抛物线y=x2+bx+c经过点A（3，0），B（1，0），直接得出抛物线的解析式为；y=（x3）（x+1），再整理即可，解答：解：抛物线y=x2+bx+c经过点A（3，0），B（1，0）抛物线的解析式为；y=（x3）（x+1），即y=x2+2x+3，例9已知二次函数的图像与x轴交于（2，0），（4，0）两点，且过（1，），求这个二次函数解析式分析：根据二次函数的图像与x轴交于（2，0），（4，0）两点，设抛物线的解析式为；y=a（x+2）（x-4）,再代入（1，）求出a值即可。解:图像与x轴交于（2，0），（4，0）两点，设二次函数解析式为y=a（x+2）（x-4）又 图象经过点（1，）= a( 1 +2) ( 1 4)解得a=二次函数解析式y =( x +1) ( x 4)=（三）一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式，转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；例10 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），求抛物线的函数表达式。分析：把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解解法：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），解得，所以抛物线的函数表达式为y=x24x+3；练习 ： 1.抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点A（3，0）、B（1，0）、C（2，1），求抛物线的表达式。分析：把点A、B、C的坐标分别代入已知抛物线的解析式列出关于系数的三元一次方程组，通过解该方程组即可求得系数的值或设交点式（两点式）解答均可解答：解：由题意可知.解得.抛物线的表达式为y=.2.已知抛物线y=ax2+bx+c经过（1，4），（1，0），（2，5），求抛物线的函数表达式。解答：解：设二次函数的解析式为：，依题意得： 解得：小结：用待定系法确定二次函数关系式时，要灵活运用顶点式、交点式和一般式。一般步骤是：五、数形结合法数形结合式的二次函数的解析式的求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题转化为几何问题，充分运用三角函数、解直角三角形等来解决问题，只要充分运用有关几何知识求出解析式中的待定系数，以达到目的例11.已知在RtOAB中，OAB=90，BOA=30，OA=，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将RtOAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式分析：在RtAOB中，根据AO的长和BOA的度数，可求得OB的长，根据折叠的性质即可得到OA=OC，且BOC=BOA=30，过C作CDx轴于D，即可根据COD的度数和OC的长求得CD、OD的值，从而求出点C、A的坐标，将A、C、O的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式解答：解：过点C作CHx轴，垂足为H；在RtOAB中，OAB=90，BOA=30，OA=，OB=4，AB=2；由折叠的性质知：COB=30，OC=AO=2，COH=60，OH=，CH=3；C点坐标为（，3）O点坐标为：（0，0），抛物线解析式为y=ax2+bx（a0），图象经过C（，3）、A（2，0）两点，解得；此抛物线的函数关系式为：y=x2+2x例12. 如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tanBAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90，得到DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C求抛物线的解析式；分析：利用三角函数和图形的旋转知识，先求出A、B、C的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式；解答：解：在RtAOB中，OA=1，tanBAO=3，OB=3OA=3DOC是由AOB绕点O逆时针旋转90而得到的，DOCAOB，OC=OB=3，OD=OA=1，A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（3，0）代入解析式为，解得：抛物线的解析式为y=x22x+3；练习 1.（2013宁波）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，3）（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=x上，并写出平移后抛物线的解析式考点：二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式分析：（1）利用交点式得出y=a（x1）（x3），进而得出a求出的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；（2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y=x2，进而得出答案解答：解：（1）抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y=a（x1）（x3），把C（0，3）代入得：3a=3，解得：a=1，故抛物线解析式为y=（x1）（x3），即y=x2+4