高考数学二轮专题复习 知能专练（十八）圆锥曲线中的热点问题

知能专练（十八） 圆锥曲线中的热点问题一、选择题1(2017河北衡水中学模拟)已知点Q在椭圆C：1上，点P满足()(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为()A圆 B抛物线 C双曲线 D椭圆解析：选D因为点P满足()，所以点P是线段QF1的中点设P(x，y)，由F1为椭圆C：1的左焦点，得F1(，0)，故Q(2x，2y)，又点Q在椭圆C：1上，所以1，即1，所以点P的轨迹是椭圆，故选D.2.(2017安徽六安一中模拟)如图，已知F1，F2是椭圆：1(ab0)的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过F2作F1PF2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为()A直线 B圆 C椭圆 D双曲线解析：选B延长F2Q，与F1P的延长线交于点M，连接OQ.因为PQ是F1PF2的外角的角平分线，且PQF2M，所以在PF2M中，|PF2|PM|，且Q为线段F2M的中点又O为线段F1F2的中点，由三角形的中位线定理，得|OQ|F1M|(|PF1|PF2|)根据椭圆的定义，得|PF1|PF2|2a，所以|OQ|a，所以点Q的轨迹为以原点为圆心，半径为a的圆，故选B.3已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点若8a，则双曲线的离心率的取值范围是()A(1,2 B2，) C(1,3 D3，)解析：选C设|PF2|y，则(y2a)28ay(y2a)20y2acae3，又因为e1，可得e的取值范围为(1,34已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A. B. C1 D2解析：选D由题意知，抛物线的准线l：y1，过A作AA1l于A1，过B作BB1l于B1，设弦AB的中点为M，过M作MM1l于M1.则|MM1|.|AB|AF|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|BF|6，|AA1|BB1|6,2|MM1|6，|MM1|3，故M到x轴的最短距离|MM1|min312.二、填空题5已知点A(，0)，点B(，0)，且动点P满足|PA|PB|2，则动点P的轨迹与直线yk(x2)有两个交点的充要条件为k_.解析：由已知得动点P的轨迹为一双曲线的右支且2a2，c，则b1，所以P点的轨迹方程为x2y21(x1)，其一条渐近线方程为yx.若P点的轨迹与直线yk(x2)有两个交点，则需k(，1)(1，)答案：(，1)(1，)6已知F1，F2分别为双曲线C：1的左、右焦点，P，Q为C上的点，且满足条件：线段PQ的长度是虚轴长的2倍；线段PQ经过F2，则PQF1的周长为_若只满足条件，则PQF1的周长的最小值为_解析：由题意得a3，b2，c，|PQ|4b8.由双曲线的定义得|PF1|PF2|6，|QF1|QF2|6，PQF1的周长为|PF1|QF1|PF2|QF2|(|PF1|PF2|)(|QF1|QF2|)2(|PF2|QF2|)(|PF1|PF2|)(|QF1|QF2|)2|PQ|662828.若只满足条件，PQF1的周长为|PF1|QF1|PF2|QF2|(|PF1|PF2|)(|QF1|QF2|)2(|PF2|QF2|)122|PQ|，当PQx轴时弦|PQ|最短，令x，则有y24，解得y，此时|PQ|，所以PQF1的周长的最小值为122.答案：28三、解答题7(2017浙东北三校模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，右焦点到直线1的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)若O为坐标原点，过点O作两条相互垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求|AB|的最小值解：(1)由题意得椭圆的离心率e，右焦点为(c,0)，又右焦点到直线1的距离为，所以，又a2b2c2，故a2，b，c1.所以椭圆C的方程为1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB的斜率不存在时，x2x1，y1y2，且yx，又1，解得|x1|，即点O到直线AB的距离为.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，与椭圆的方程联立消去y得(34k2)x28kmx4m2120，所以x1x2，x1x2.因为OAOB，所以x1x2y1y20，所以x1x2(kx1m)(kx2m)0，即(k21)x1x2km(x1x2)m20，所以(k21)m20，整理得7m212(k21)，所以点O到直线AB的距离为.因为OAOB，所以|OA|2|OB|2|AB|22|OA|OB|，当且仅当|OA|OB|时取等号由|AB|OA|OB|得|AB|2，即|AB|的最小值为.8在平面直角坐标系xOy中，已知点A(，0)，B(，0)，E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为.(1)求动点E的轨迹C的方程； (2)设过点F(1,0)的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N.若点P在y轴上，且|PM|PN|，求点P的纵坐标的取值范围解：(1)设动点E的坐标为(x，y)，依题意可知，整理得y21(x)所以动点E的轨迹C的方程为y21(x)(2)当直线l的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，将yk(x1)代入y21并整理得，(2k21)x24k2x2k220，8k280.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2.设MN的中点为Q，则xQ，yQk(xQ1)，所以点Q的坐标为.由题意可知k0，又直线MN的垂直平分线的方程为y.令x0，解得yP.当k0时，因为2k2，所以0yP，当且仅当k时等号成立；当kyP，当且仅当k时等号成立综上所述，点P的纵坐标的取值范围是.9.(2017杭州模拟)已知抛物线C：x22py(p0)，直线l：yx1与抛物线C交于A，B两点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2(其中O为坐标原点)，且k1k2.(1)求p的值；(2)如图，已知点M(x0，y0)为圆：x2y2y0上异于O点的动点，过点M的直线m交抛物线C于E，F两点若M为线段EF的中点，求|EF|的最大值解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将yx1代入抛物线C：x22py，得x22px2p0，则x1x22p.所以k1k2，所以p2.(2)设E(x3，y3)，F(x4，y4)，直线m：yk(xx0)y0，与抛物线C：x24y联立，得x24kx4kx04y00，(*)则x3x44k2x0，所以kx0.此时(*)式为x22x0x2x4y00，所以x3x42x4y0.所以|EF|x3x4| .又xyy00，所以|EF|22y04(y01)，当且仅当即y01时取等号所以|EF|的最大值为4.三、解答题10(2017宁波模拟)已知椭圆1(ab0)经过点P(2,0)与点(1,1)(1)求椭圆的方程；(2)过P点作两条互相垂直的直线PA，PB，交椭圆于A，B.证明：直线AB经过定点；求ABP面积的最大值解：(1)由题意得解得a24，b2，椭圆的方程为1.(2)证明：由对称性知，若存在定点，则必在x轴上，当kPA1时，lPA：yx2，x23(x24x4)4x1.以下验证：定点为(1,0)，由题意知，直线PA，PB的斜率均存在，设直线PA的方程为yk(x2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)则x23k2(x24x4)4xA，yA，同理xB，yB，则，得证由于直线不与x轴平行，设直线AB方程为xty1，(t23)y22ty30，yAyB，yAyB，SPAB1|yAyB|，令 3，)，则t2，SPAB1，当且仅当3，即t0时取等号11.(2017杭州模拟)设椭圆E：1(ab0)的左顶点为A(2,0)，离心率e，过点P(1,0)的直线交椭圆E于B，C两点，直线AB，AC分别交直线x3于M，N两点(1)求椭圆E的方程；(2)以线段MN为直径的圆是否过定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由解：(1)由题意，a2，e，则c，故b1，所以椭圆E的方程为y21.(2)过定点设直线BC的方程为xty1(tR)，点B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)由得(t24)y22ty30，由根与系数的关系得所以x1x2(ty11)(ty21)t2y1y2t(y1y2)1，x1x2(ty11)(ty21)t(y1y2)2，又kAB，直线AB的方程为y(x2)，点M的坐标为，同理，N，假设过定点Q(m,0)，则(3m)2(3m)2(3m)20，m3或m3，即定点为或.12(2017台州模拟)如图，已知椭圆C：y21，过点P(1,0)作斜率为k的直线l，且直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.(1)设点A(0,2)，k1，求AMN的面积；(2)设点B(t,0)，记直线BM，BN的斜率分别为k1，k2.问是否存在实数t，使得对于任意非零实数k，(k1k2)k为定值？若存在，求出实数t的值及该定值；若不存在，请说明理由解：(1)当k1时，直线l的方程为yx1.由得x0或x，当x0时，y1，当x时，y，不妨设N(0，1)，M.所以|AN|3.所以SAMN3.(2)由题意知，直线MN的方程为yk(x1)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(14k2)x28k2x4k240.所