高中数学 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1_1_3 平行截割定理学案 新人教b版选修4-1

11.3平行截割定理读教材填要点1平行截割定理(1)定理的内容：三条平行线截任两条直线，所截出的对应线成比例(2)符号语言表示：如图，若l1l2l3，则.2平行截割定理的推论(1)推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例(2)符号语言表示：如图，若l1l2l3，则.小问题大思维1在平行截割定理中，被截的两条直线m，n应满足什么条件？提示：被截取的两条直线m、n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行直线a、b、c都相交2若将定理中的“三条平行线”改为“三个互相平行的平面”，是否仍然成立？提示：仍然成立利用定理证明“比例式”例1已知：如图，l1l2l3，.求证：.思路点拨本题考查平行截割定理及比例的基本性质解答本题需要利用定理证得，然后利用比例的有关性质求出即可精解详析l1l2l3，.，即，.解决此类问题要结合几何直观，合理地利用比例的性质，常见的性质有：(1)比例的基本性质：(bd0)adbc；(bc0)b2ac；(abcd0).(2)合分比性质：如果，那么.(3)等比性质：如果(bdn0，bdn0)，那么.1如图，已知在ABC中，BAC120，AD平分BAC交BC于D.求证：.证明：过D点作DEAB交AC于E点，BAC120，AD平分BAC，DAE60，BAD60.DEAB，ADE60，ADDEAE，.1，1.利用定理证明“乘积式”例2如图所示，已知直线l截ABC三边所在的直线分别于E，F，D三点，且ADBE.求证：EFCBFDCA.思路点拨借助平行线分线段成比例定理即可证得精解详析法一：如图1，过D作DKAB交EC于点K，则，即.ADBE，.即EFCBFDCA.图1法二：如图2，过E作EPAB，交CA的延长线于点P.ABEP，即.在DPE中，AFPE，.ADBE，.EFCBFDCA.图2法三：如图3，过D作DNBC，交AB于N.NDEB，DNBC，即.ADEB，即EFCBFDCA.图3本题所作的辅助线，不仅构造了两个常见的基本图形，而且可以直接利用三角形一边的平行线的性质定理，找到与的比值关系，再借助等量代换，使问题得以突破2.如图所示，已知直线FD和ABC的BC边交于D，与AC边交于E，与BA的延长线交于F，且BDDC，求证：AEFBECFA.证明：过A作AGBC，交DF于G点AGBD，.又BDDC，.AGDC，.，即AEFBECFA.利用定理进行计算例3如图，已知ABCD中，延长AB到E，使BEAB，连接ED交BC、AC于F、G.求EFFGGD的值思路点拨本题考查平行截割定理及其推论的应用解答本题需要求出EFFG，EFGD的比值，进而求出EFFGGD的值精解详析四边形ABCD是平行四边形，ADBC.BEAB，.设EFk，ED3k，FD2k.BCAD，.，FGk，GDk，EFFGGDkkk，即EFFGGD546.求线段长度比的问题，通常引入一个参数k，然后用所设的参数k表示所求结论中的各个线段，最后消掉参数k即可得到所求结论3.如图，在ABC中，AD平分BAC，DEAC，EFBC，AB15，AF4，则DE_.解析：设DEx，DEAC，EFBC，解得BE.又AD平分BAC，解得x6.答案：6对应学生用书P11一、选择题1如图，ABCDEF，AF，BE相交于O，若AOODDF，BE10 cm，则BO的长为()A. cmB5 cmC. cm D3 cm解析：CDEF，ODDF，C为OE中点，OCCE.ABCD，AOOD，O为BC中点，BOOC，OBBE cm.答案：A2如图，AD是ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AFFD为()A21 B31C41 D51解析：要求AFFD的比，需要添加平行线寻找与之相等的比过D作DGAC交BE于G，如图，因为D是BC的中点，所以DGEC，又AE2EC，故AFFDAEDG2ECEC41.答案：C3.如图，梯形ABCD中，E是DC延长线上一点，AE交BD于G，交BC于F，下列结论：；，其中正确的个数是()A1个 B2个C3个 D4个解析：BCAD，、正确由BCAD得，.即，即，正确答案：C4如图，已知P、Q分别在BC和AC上，则()A314 B143C173 D1714解析：过点P作PMAC，交BQ于M，则.PMAC且，.又，.即.答案：B二、填空题5如图，ABEMDC.AEED，EFBC，EF12 cm，则BC的长为_解析：E为AD中点，M为BC的中点EFBCEFMC12 cm.BC2MC24 cm.答案：24 cm6如图，ABCD中，N是AB延长线上一点，的值为_解析：ADBM，.又DCAN，即.1.答案：17.如图所示，l1l2l3，若CH4.5 cm，AG3 cm，BG5 cm，EF12.9 cm，则DH_，EK_.解析：由l1l2l3，可得，所以DH7.5 (cm)，同理可得EK的长度答案：7.5 cm34.4 cm8.梯形ABCD中，ADBC，ADBCab.中位线EFm，则MN的长是_解析：易知EF(ADBC)，EMFNAD.又ADBCab，设ADak，则BCbk.EF(ADBC)，m(ab)，k.MNEFEMNFmakakmak.答案：三、解答题9如图，M是ABCD的边AB的中点，直线l过M分别交AD、AC于E、F，交CB的延长线于N.若AE2，AD6.求：AFAC的值解：ADBC，.AMMB，1，AEBN.AE2，BCAD6，.即AFAC15.10如图，在ABCD中，E和F分别是边BC和AD的中点，BF和DE分别交AC于P，Q两点求证：APPQQC.证明：四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，AD边上的中点，DF綊BE，四边形BEDF是平行四边形在ADQ中，F是AD的中点，FPDQ，P是AQ的中点，APPQ.在CPB中，E是BC的中点，EQBP，Q是CP的中点，CQPQ.APPQQC.11如图，梯形ABCD中，ADBC，EF经过梯形对角线的交点O，且EFAD.(1)求证：OEOF；(2)求的值；(3)求证：.解：(1)证明：EFAD，ADBC，EFADBC.EFBC，.