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第二章 2.3 等比数列 2.3.1 等比数列(二) 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 2.熟悉等比数列的有关性质. 3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一 等比数列通项公式的推广 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形:ana1(n 1)dam(nm)d. 等比数列也有类似变形吗?答案 思考2 我们知道等差数列的通项公式可以变形为andna1d, 其单调性由公差的正负确定;等比数列的通项公式是否也可 做类似变形?答案 设等比数列an的首项为a1,公比为q. 则ana1qn1 qn,其形式类似于指数型函数,但q可以为负 值由于an1ana1qna1qn1a1qn1(q1),所以an的 单调性由a1,q,q1的正负共同决定 梳理 公比为q的等比数列an中,ana1qn1 qn an的单调性由a1,q, q1共同确定如下: q0时,an中的项交替为正值或负值; q1时,an是常数列 知识点二 由等比数列衍生的等比数列 由定义可判断出(1),(3),(4)正确 思考 等比数列an的前4项为1,2,4,8,下列判断正确的是 (1)3an是等比数列;(2)3an是等比数列; (3) 是等比数列;(4)a2n是等比数列 答案 梳理 (1)在等比数列an中按序号从小到大取出若干项:ak1,ak2,ak3, ,akn,若k1,k2,k3,kn,成等差数列,那么ak1,ak2, ak3,akn,是等比数列 知识点三 等比数列的性质 思考 答案 梳理 一般地,在等比数列an中,若mnst,则有amanasat(m,n ,s,tN) 若mn2k,则amana (m,n,kN) 题型探究 类型一 等比数列性质的应用 例1 已知数列an为等比数列 (1)若an0,且a2a42a3a5a4a636,求a3a5的值;解答 a2a42a3a5a4a636, (a3a5)236, 又an0,a3a56. (2)若a1a2a37,a1a2a38,求数列an的通项公式解答 在等比数列的有关运算中,常常涉及到次数较高的指数运算若按 常规解法,往往是建立a1,q的方程组,这样解起来很麻烦,通过本 例可以看出:结合等比数列的性质进行整体变换,会起到化繁为简 的效果 反思与感悟 跟踪训练1 (1)在递增等比数列an中,a1a964,a3a720,求a11 的值 在等比数列an中,a1a9a3a7, 由已知可得a3a764且a3a720. 解答 an是递增等比数列,a7a3. 取a34,a716,164q4,q44. a11a7q416464. (2)已知数列an成等比数列若a3a4a58,求a2a3a4a5a6的值解答 类型二 灵活设项求解等比数列 例2 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列, 并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12, 求这四个数解答 所以当a4,d4时,所求四个数为0,4,8,16; 当a9,d6时,所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 当a8,q2时,所求四个数为0,4,8,16; 当a3,q 时,所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 合理地设出所求数中的三个,根据题意再表示出另一个是解决这类问 题的关键,一般地,三个数成等比数列,可设为 ,a,aq;三个数成 等差数列,可设为ad,a,ad. 反思与感悟 跟踪训练2 三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数 各减去2,则这三个数成等差数列,求这三个数解答 设三个数依次为 ,a,aq, aaq512,a8. ( 2)(aq2)2a, 2q25q20, q2或q , 这三个数为4,8,16或16,8,4. 类型三 等差数列与等比数列的综合应用 解答 当n2时,anSnSn1n2(n1)22n1, 当n1时,a1S11,符合上式 数列an的通项公式为an2n1(nN) 解得m9或m0(舍去),故m9. (2)是否存在m,使得数列bn中存在某项bt满足b1,b4,bt(tN, t5)成等差数列?若存在,请指出符合题意的m的个数;若不存在, 请说明理由 解答 若存在m,使b1,b4,bt成等差数列, 则2b4b1bt, 由于m、tN且t5, 令m536,18,9,6,4,3,2,1, 即m41,23,14,11,9,8,7,6时,t均为大于5的整数 存在符合题意的m值,且共有8个数 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中,特别要注意它们的区别,避 免用错公式 (2)方程思想的应用往往是破题的关键 反思与感悟 因为an是首项为19,公差为2的等差数列,所以an192(n1) 2n21,Sn19n (2)n220n,即an2n 21(nN),Snn220n(nN) 跟踪训练3 已知an是首项为19,公差为2的等差数列,Sn为an 的前n项和 (1)求通项公式an及Sn;解答 因为bnan是首项为1,公比为3的等比数列, 所以bnan3n1, 即bn3n1an3n12n21(nN) (2)设bnan是首项为1,公比为3的等比数列,求数列bn的通项公式 解答 当堂训练 由a5a2q3,得q38,所以q2. 1.在等比数列an中,a28,a564,则公比q为 A.2 B.3 C.4 D.8 答案解析 1234 2.在等比数列an中,an0,且a1a1027,则log3a2log3a9等于 A.9 B.6 C.3 D.2 答案 解析 123 因为a2a9a1a1027, 所以log3a2log3a9log3273. 4 设这8个数组成的等比数列为an,则a11,a82. 插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7(a2a7)(a3a6)(a4a5)(a1a8)3238. 123 3.在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数 的积为_. 4 答案解析8 123 不是等比数列. a121315,a2223213,a3233335, a1a3a , 数列an不是等比数列. 4 4.已知an2n3n,判断数列a

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