高中数学 第二章 数列 习题课 数列求和学案 新人教b版必修5

习题课数列求和学习目标1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.2.掌握数列求和的几种基本方法预习导引1基本求和公式(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d.(2)等比数列前n项和公式：当q1时，Snna1；当q1时，Sn.2数列an的an与Sn的关系数列an的前n项和Sna1a2a3an，则an3拆项成差求和经常用到下列拆项公式(1).(2)()(3).要点一分组分解求和例1求和：Sn(x)2(x2)2(xn)2.解当x1时，Sn(x)2(x2)2(xn)2(x22)(x42)(x2n2)(x2x4x2n)2n()2n2n；当x1时，Sn4n.综上知，Sn规律方法某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和跟踪演练1求数列an：1,1a,1aa2，1aa2an1，的前n项和Sn(其中a0)解当a1时，则ann，于是Sn123n.当a1时，an(1an)Snn(aa2an)n.Sn要点二错位相减法求和例2已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1(q0，nN)，求数列bn的前n项和Sn.解(1)设an的公差为d，则由已知得即解得a13，d1，故an3(n1)4n.(2)由(1)知，bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1，若q1，上式两边同乘以q.qSn1q12q2(n1)qn1nqn，两式相减得：(1q)Sn1q1q2qn1nqn nqn.Sn.若q1，则Sn123n，Sn规律方法用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和跟踪演练2数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN)(1)求数列an的通项an；(2)求数列nan的前n项和Tn.解(1)an12Sn，Sn1Snan12Sn，Sn13Sn.又S1a11，数列Sn是首项为1，公比为3的等比数列Sn3n1(nN)当n2时，an2Sn123n2，且a11，an(2)Tna12a23a3nan，当n1时，T11；当n2时，Tn14306312n3n2，3Tn34316322n3n1，得2Tn22(31323n2)2n3n1222n3n11(12n)3n1，Tn(n)3n1(n2)，又T1a11也满足上式，Tn(n)3n1(nN)要点三裂项相消求和例3求和：，n2.解()，原式(1)()()()(1).规律方法如果数列的通项公式可转化为f(n1)f(n)的形式，常采用裂项求和法跟踪演练3求和：1.解an2()，Sn2(1).要点四奇偶并项求和例4求和：Sn1357(1)n(2n1)解当n为奇数时，Sn(13)(57)(911)(2n5)(2n3)(2n1)2(2n1)n.当n为偶数时，Sn(13)(57)(2n3)(2n1)2n.Sn(1)nn(nN)跟踪演练4已知数列1,4，7,10，(1)n(3n2)，求其前n项和Sn.解n为偶数时，令n2k(kN)，SnS2k14710(1)2k(6k2)(14)(710)(6k5)(6k2)3kn；当n为奇数时，令n2k1(kN)SnS2k1S2ka2k13k(6k1).Sn1数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于()A1B.C.D.答案B解析an，S5(1)()()1.2数列1，2，3，4，的前n项和为()A.(n2n2) B.n(n1)1C.(n2n2) D.n(n1)2(1)答案A解析123(n)(12n)()(n2n)1(n2n2).3数列an的通项公式an，若前n项的和为10，则项数为()A11 B99 C120 D121答案C解析an，Sn110，n120.4若数列an的前n项和为Snan，则数列an的通项公式是an_.答案(2)n1 解析当n1时，a1S1a1，解得a11.当n2时，anSnSn1(an)(an1)anan1，整理可得anan1，即2，故数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，故an(2)n1.求数列前n项和，一般有下列几种方法1错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和2分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列3拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和4奇偶并项：当数列通项中出现(1)n或(1)n1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨