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第四节 有理函数的积分 有理函数的积分法 三角函数有理式的积分法 简单无理函数的积分法 小结、作业 1/32 2、有理函数的分类： 一、有理函数的积分法 真分式； 假分式； 1、有理函数的定义； 2/32 3、有理函数积分法 3/32 4/32 5/32 (4) 真分式化为部分分式之和的待定系数法: 例1 比较系数 （比较系数法） 6/32 或 （赋值法） 7/32 令令 例2 （综合法） 8/32 例3 （综合法） 9/32 例4 10/32 例5 （没有用待定系数法） 11/32 12/32 注 （1）有理函数的原函数都是初等函数 ；有理函数的积分一定可以“积出 来”； （2）有理函数的积分总可以“程序化 地”求出来； （3）对具体的有理函数的积分可能有 特定的简便求法。 13/32 例6 14/32 *例7 15/32 1、三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成 的函数三角函数有理式可记为 二、三角函数有理式的积分 2、三角有理式的积分法 ： 16/32 令万能代换公式： 17/32 例8 18/32 例9 求 解法一 19/32 解法二先降分母次数 20/32 注（1）用万能代换一定能将三角函数有理式的积分 化为有理函数的积分； （2）万能代换不一定是最好的； （3）常用的将三角函数有理式的积分化为有理函数 的积分的代换方法（非“万能的”）： 1）若 R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) ，可取 u=cosx 为 积分变量； 2）若 R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx) ，可取 u=sinx 为 积分变量； 3）若 R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx) ，可取 u=tanx 为 积分变量。 21/32 解法三 22/32 例10 求 解一 23/32 解二 解三 24/32 解四 解五 25/32 例11 26/32 有理函数的积分. 三、简单无理函数的积分 27/32 例12 求 解 令 28/32 例13 29/32 例14 注 30/32 *例15 求 解要将两个不同的根式分开，对分母进行有理化。 原式 31/32 （3）一些简单无理式的“程序化”积分法. （1）有理式的“程序化”积分法； （2）三角有理式的“程序化”积分法； （具体三角有理式可能有其特定的简便积分法；用“ 万能代换”之前应先考虑是否有更简便的方法） 四
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