高考数学二轮专题复习 重难增分训练（五）圆锥曲线的研究性学习

重难增分训练（五） 圆锥曲线的研究性学习1已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点解：(1)已知定点A(4,0)，设圆心C(x，y)，MN线段的中点为E，由几何图象知ME4，CA2CM2ME2EC2(x4)2y242x2y28x.即圆心C的轨迹方程为y28x.(2)证明：点B(1,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题知y1y20，y1y2b0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，P为椭圆C1上任意一点，且最大值的取值范围是c2,3c2，其中c.(1)求椭圆C1的离心率e的取值范围；(2)设双曲线C2以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C2上在第一象限内的任意一点，当e取得最小值时，是否存在常数(0)，使得BAF1BF1A恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)设P(x，y)，又F1(c,0)，F2(c,0)，(cx，y)，(cx，y)，x2y2c2.由1，得y2b2，其中0x2a2.x2b2c2x2b2c2.当x2a2时，取得最大值，且()maxb2，由题意得c2b23c2，c2a2c23c2.，即e2，e.(2)当e时，a2c，bc.双曲线C2：1，A(2c,0)设B(x0，y0)(x00，y00)，则1.当ABx轴时，x02c，y03c，则tanBF1A1，故BF1A.故BAF12BF1A，猜想存在常数2，使得BAF1BF1A恒成立当AB不垂直于x轴，即x02c时，tanBAF1，tanBF1A.tan 2BF1A.又y3c23(xc2)，tan 2BF1AtanBAF1.又2BF1A与BAF1同在内，2BF1ABAF1.综上，存在常数2，使得BAF1BF1A恒成立3(2017郑州市模拟)已知椭圆1(ab0)的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|OF|(其中O为坐标原点)(1)求椭圆的方程；(2)若C，D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MDCD，连接CM，交椭圆于点P，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由已知得bc，a2b2c24，椭圆的方程为1.(2)由(1)知，C(2,0)，D(2,0)由题意可设直线CM：yk(x2)，P(x1 ，y1)MDCD，M(2,4k)由消去y，整理得(12k2)x28k2x8k240，(8k2)24(12k2)(8k24)0.由根与系数的关系得2x1，即x1.y1k(x12)，P.设Q(x0,0)，且x02.若以MP为直径的圆恒过DP，MQ的交点，则MQDP，0恒成立(2x0,4k)，.(2x0)4k0，即0恒成立，x00.存在点Q(0,0)，使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交点4(2017四川双流中学模拟)已知动圆P与圆F1：(x3)2y281，圆F2：(x3)2y21都内切，设圆心P的轨迹为曲线C，Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点(1)求曲线C的方程；(2)试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数若能，求出这个常数；若不能，请说明理由解：(1)设圆心P的坐标为(x，y)，半径为r，则|PF1|PF2|86|F1F2|，圆心P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a8,2c6，a4，c3，b2a2c27，故曲线C的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x3，y3)，直线OQ：xmy，则直线MN：xmy3，由可得x，y，|OQ|2xy，由可得(7m216)y242my490，y1y2，y1y2，|MN|y2y1|，.|MN|和|OQ|2的比值为一个常数，这个常数为.5首先解决如下问题，然后根据该问题的结论提出你的其他猜想，并证明你的猜想如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的右焦点为F(1,0)，离心率为.分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E(异于A，C两点)，且OEEF.(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线AC，BD的斜率之和为定值解：(1)由题意，得c1，e，故a，从而b2a2c21，所以椭圆的方程为y21.(2)证明：设直线AB的方程为ykx，直线CD的方程为yk(x1)，由得，点A，B的横坐标为 ，由得，点C，D的横坐标为，记A(x1，kx1)，B(x2，kx2)，C(x3，k(1x3)，D(x4，k(1x4)，则直线AC，BD的斜率之和为kkk0.问题推广首先把试题推广到圆、椭圆中，再把试题推广到抛物线中命题1圆锥曲线mx2ny21(mn0)的内接四边形的两组对边，两条对角线所在的三对直线中，只要有一对直线的斜率之和为0，则另两对直线中的每一对直线的斜率之和也为0.(说明：当mn0时，mx2ny21表示圆；当m0，n0，mn时，mx2ny21表示椭圆)证明：由字母A，B，C，D的轮换对称性可知，只需证明kABkCD0kACkBD0；kABkCD0kBCkDA0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，又设直线AB，CD的斜率分别为k，k，方程分别为ykxb1，ykxb2.将ykxb1代入mx2ny21，消去y并整理得(nk2m)x22knb1xnb10，显然x1，x2是此方程的两个根，由根与系数关系得x1x2，x1x2，在上式中同时以k代k，b2代b1得x3x4，x3x4，y3y1kx3b2(kx1b1)k(x1x3)(b2b1)，同理y4y2k(x2x4)(b2b1)，kACkBD00(y4y2)(x3x1)(y3y1)(x4x2)0k(x2x4)(b2b1)(x3x1)k(x1x3)(b2b1)(x4x2)0k(x2x4)(x3x1)(x1x3)(x4x2)(b2b1)(x3x4x1x2)02k(x3x4x1x2)(b2b1)(x3x4x1x2)02k(b2b1)00，显然成立，得证类似地可以证明kBCkDA0，故kBCkDA0，kACkBD0.命题2抛物线y22px的内接四边形的两组对边，两条对角线所在的三对直线中，只要有一对直线的斜率之和为0，则另两对直线中的每一对直线的斜率之和也为0.证明：由字母A，B，C，D的轮换对称性可知：只需证明kABkCD0kBCkDA0，kABkCD0kACkBD0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则kAB，同理kBC，kCD，