高考数学二轮复习 特色专题训练 专题03 直击函数压轴题中零点问题 理

专题03 直击函数压轴题中零点问题一、解答题1已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在区间内有唯一的零点，证明： .【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）依题可知，若在区间内有唯一的零点，由（1）可知，且，于是： ， 由得，设g(x)lnx，(x(0，1)，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可（2）依题可知，若在区间内有唯一的零点，由（1）可知，且. 于是： 由得，设，则，因此在上单调递减，又， 根据零点存在定理，故.点睛：本题考查了函数的单调性,零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，零点存在性定理，考查分类讨论思想，转化思想，构造函数的解题方法.2设函数f(x)x2bx1(bR)(1)当b1时证明：函数f(x)在区间内存在唯一零点；(2)若当x1,2，不等式f(x)1有解求实数b的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）先根据对称轴与定义区间位置关系确定函数f(x)在区间单调性，再根据区间端点函数值异号，结合零点存在定理确定零点个数（2）先分离变量化为对应函数最值问题： ，再根据函数单调性确定函数最小值，即得实数b的取值范围 (2)由题意可知x2bx11在区间1,2上有解，所以bx在区间1,2上有解令g(x)x，可得g(x)在区间1,2上递减，所以bg(x)maxg(1)211 ，从而实数b的取值范围为(，1)点睛：利用零点存在性定理不仅要求函数的图象在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点3已知函数.（1）若，判断函数的零点个数；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；（3）已知R且， ，求证：方程在区间上有实数根.【答案】见解析;见解析.【解析】试题分析：（1）利用判别式定二次函数的零点个数：（2）零点个数问题转化为图象交点个数问题，利用判别式处理即可；（3）方程在区间上有实数根，即有零点，结合零点存在定理可以证明. 试题解析：,当时， ，函数有一个零点； 当时， ，函数有两个零点设，则 , 在区间上有实数根， 即方程在区间上有实数根. 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解4已知函数图象上一点处的切线方程为.(1)求的值;(2)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底).【答案】(1)a=2,b=1.(2) .【解析】试题分析：本题考查函数与方程，函数与导数的综合应用(1)根据导数的几何意义，得出两个方程，然后求解(2)先利用导数研究函数h(x)=f(x)+m=2lnxx2+m的单调性，根据单调性与极值点确定关系然后求解 (2)由（1）得f(x)=2lnxx2，令h(x)=f(x)+m=2lnxx2+m，则，令h(x)=0，得x=1(x=1舍去)故当x时，h(x)0，h(x)单调递增；当x(1，e时，h(x)0，h(x)单调递减方程h(x)=0在内有两个不等实根，解得实数的取值范围为.点睛：根据函数零点求参数取值或范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）利用方程根的分布求解，转化为不等式问题（4）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.5已知函数，其中为自然对数的底数， （I）若，函数求函数的单调区间若函数的值域为,求实数的取值范围（II）若存在实数,使得，且，求证： 【答案】（1）详见解析实数的取值范围是；（2）；试题解析：（1）当时， .由得，由得.所以函数的单调增区间为，单调减区间为.当时， ，所以在区间上单调递减；当时， ，所以在区间上单调递增.在上单调递减，值域为,因为的值域为，所以，即. （2）.若时， ，此时在上单调递增.由可得，与相矛盾，同样不能有.不妨设，则有.因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时， .由，且，可得故.又在单调递减，且，所以，所以，同理.即解得，所以.点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.6已知函数.（1）当时，求在上的值域；（2）试求的零点个数，并证明你的结论.【答案】（1）（2）当时， 只有一个零点；当时， 有两个零点（2）原方程等价于实根的个数，原命题也等价于在上的零点个数，讨论， ， ，三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理可得结果.试题解析：（1）当时， ，则，而在上恒成立，所以在上递减， ，所以在上存在唯一的，使得，而且当时， ， 递增；当时， 递减；所以，当时， 取极大值，也是最大值，即，所以， 在上的值域为.（I）若，则当时， 恒成立，则没有零点；当时， ， ，又在上单调递增的，所以有唯一的零点。（II）若，则当时， 恒成立，则没有零点；当时， ， ，又在上单调递增的，所以有唯一的零点（III）若，则当时，由 ，则，则取，则，又，所以在有唯一的零点，当时， ，又在上单调递增的，所以有唯一的零点综上所述，当时， 只有一个零点；当时， 有两个零点7已知函数（1）若不等式恒成立，则实数的取值范围；（2）在（1）中， 取最小值时，设函数.若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围；（3）证明不等式： （且）.【答案】(1) ；(2) ；(3)证明见解析.(2)由(1)可知， ，当时， ， ， 在区间上恰有两个零点，即关于的方程在区间上恰有两个实数根. 整理方程得， ，令， ， 令， ，则， ，于是， 在上单调递增.因为，当时， ，从而， 单调递减，当时， ，从而， 单调递增， ， ， ，因为，所以实数的取值范围是. (3)由(1)可知，当时，有，当且仅当时取等号.令，则有，其中 . 整理得： ， 当时， ， ， ，上面个式子累加得： . 且，即.命题得证. 8已知函数，其中.（1）设，讨论的单调性；（2）若函数在内存在零点，求的范围.【答案】（1）见解析；（2）的取值范围是.解析：（1）定义域 故 则 若，则 在 上单调递减；若，则 .（i） 当 时，则 ，因此在 上恒有 ，即 在 上单调递减；（ii）当时， ，因而在上有，在上有 ；因此 在 上单调递减，在单调递增. （ii）当，考察函数 ，由于 在 上必存在零点.设在 的第一个零点为，则当时， ，故 在 上为减函数，又 ，所以当 时， ，从而 在 上单调递减，故在 上恒有 。即 ，注意到 ，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数 在 上有零点，符合题意.点睛：导数中函数的含参数的问题的讨论，需要考虑下面的几个方面：（1）把导函数充分变形，找出决定导数符号的核心代数式，讨论其零点是否存在，零点是否在给定的范围中；（2）零点不容易求得时，需要结合原函数的形式去讨论，有时甚至需要把原函数放缩去讨论，常见的放缩有等；（3）如果导数也比较复杂，可以进一步求导，讨论导函数的导数.9设函数， （）.（1）当时，若函数与的图象在处有相同的切线，求的值；（2）当时，若对任意和任意，总存在不相等的正实数，使得，求的最小值；（3）当时，设函数与的图象交于 两点求证： .【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）由导数几何意义可得，又，解方程组可得的值；（2）先转化条件为对应方程有两个不等实根，再根据实根分布充要条件列不等式组，解得的最小值；(3)先根据零点表示b，代入要证不等式化简得.再构造函数，以及，结合导数研究其单调性，即证得结论（2）当时，则，又，设，则题意可转化为方程在上有相异两实根 即关于的方程在上有相异两实根所以，得，所以对恒成立 因为，所以（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是，所以故的最小值为. （3）当时，因为函数与的图象交于两点，所以，两式相减，得. 要证明，即证，即证，即证. 令，则，此时即证令，所以，所以当时，函数单调递增又，所以，即成立；再令，所以，所以当时，函数单调递减，又，所以，即也成立综上所述， 实数满足.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 10已知函数.（）讨论的单调性;（）当函数有两个不相等的零点时,证明: .【答案】(1)见解析(2)见解析试题解析：（）当时， 在单调递增；当时， 在单调递减； 在单调递增；点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.11已知（1）讨论的单调性；（2）若存在及唯一正整数，使得，求的取值范围【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是;(2) 的取值范围是.【解析】试题分析：（1）求出函数的导函数，通过对导函数符号的讨论可得函数的单调性（2）由题意得函数在上的值域为结合题意可将问题转化为当时，满足的正整数解只有1个通过讨论的单调性可得只需满足，由此可得所求范围（2）由（1）知当时， 取得最小值，又，所以在上的值域为因为存在及唯一正整数，使得，所以满足的正整数解只有1个因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，解得所以实数的取值范围是点睛：本题中研究方程根的情况时，通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数图象的变化趋势等，根据题目画出函数图象的草图，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的解决有一个直观的形象，然后在此基础上再转化为不等式（组）的问题，通过求解不等式可得到所求的参数的取值（或范围）12设函数.（1）求函数的单调区间；（2）若存在、满足.求证： （其中为的导函数）【答案】（1）见解析（2）见解析试题解析：（1）由题知 .当，此时函数在单调递增，在单调递减.当，此时函数在单调递增.（2）因为，由（1）知不妨设，由得， 即， 所以. ， 总成立，原题得证.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用13已知函数.（）求函数的单调区间；（）当时，若在上有零点，求实数的取值范围.【答案】（）见解析（）试题解析：解：（）函数的定义域为，.由得或.当时， 在上恒成立，所以的单调递减区间是，没有单调递增区间.当时， 的变化情况如下表：所以的单调递增区间是，单调递减区间是.当时， 的变化情况如下表：所以的单调递增区间是，单调递减区间是.点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.14已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）函数在区间上单调递增等价于在区间上恒成立，可得，函数在区间单调递减等价于在区间上恒成立，可得，综合两种情况可得结果；（2），由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，所以在区间内存在零点，同理， 在区间内存在零点，所以只需在区间内恰有两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，结合函数单调性讨论的零点，从而可得结果（2）由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，所以在区间内存在零点，同理， 在区间内存在零点，所以在区间内恰有两个零点由（1）知，当时， 在区间上单调递增，故在区间内至多有一个零点，不合题意当时， 在区间上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意；所以 15已知函数，其中.（1）设，讨论的单调性；（2）若函数在内存在零点，求的范围.【答案】（1）见解析；（2）的取值范围是.【解析】试题分析：（1）求导可以得到，分三种情况讨论导数的符号.（2）计算可以得到，其导数为，我们需要讨论的符号，故需再构建新函数，其导数为，结合原函数的形式和的形式，我们发现当时恒成立；当时， 在上有极小值点 ，结合可知 在上有零点；当时， 恒成立，结合可知， 在上也是恒成立的，故而在上递增恒成立.（i） 当 时，则 ，因此在 上恒有 ，即 在 上单调递减；（ii）当时， ，因而在上有，在上有 ；因此 在 上单调递减，在单调递增.（2）设 ,，设，则 . 先证明一个命题：当时， .令， ，故在上是减函数，从而当时， ，故命题成立.若 ,由 可知， .，故 ，对任意都成立，故 在上无零点，因此.（ii）当，考察函数 ，由于 在 上必存在零点.设在 的第一个零点为，则当时， ，故 在 上为减函数，又 ，所以当 时， ，从而 在 上单调递减，故在 上恒有 。即 ，注意到 ，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数 在 上有零点，符合题意. 点睛：导数中函数的含参数的问题的讨论，需要考虑下面的几个方面：（1）把导函数充分变形，找出决定导