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证券投资基金优化方案的初探【摘要】： 近年，由于我国经济的高速发展，人们对基金投资的热情越来越高涨。然而金融危机后，人们开始冷静下来，加强了对基金投资的收益与风险的考虑。如何才能选择一个真正适合自己的基金呢？带着这个问题，我们利用自己所能理解的数学知识，进行了有关投资基金收益与风险的数学探讨。本文将通过实证设计描述、收益率评价对基金进行收益与风险估测，并建立基金组合分析模型和双目标规划模型。在建立数学模型的准备阶段中，我们首先对单个投资基金以及基金组合的收益和风险进行分析；然后对基金组合的可行域和有效边界进行求解；最后根据不同的投资者，建立不同的个人偏好与无差异曲线。在投资基金的风险与收益的研究上，我们首先选取10支基金作为样本，并进行数据处理。然后，我们通过基金组合分析法模型，得到了证券组合中风险和收益的定性结论。同时，我们也通过建立收益和风险的双目标规划模型，采用偏好系数加权法转化为单目标来进行求解，得到定量的组合数据。对应于不同的风险偏好系数的取值范围，则得到不同的基金组合方案。 最后，我们对模型进行了进一步的讨论与改进，并对其优缺点进行了评价。【关键词】：投资组合 有效边界 无差异曲线 偏好系数加权法 双目标划模型【Abstract】：In recent years, due to the fast economic development in our country, capital fund investment has become very popular and is increasing rapidly. After the financial crisis, people have calmed down and are evaluating the risks and rewards of capital fund investment. How can we select and pick a capital fund investment that is suitable for you? With the question, we use our knowledge and understanding from teaching to research on the risks and returns.This article is based on actual design and description to make a comprehensive evaluation on the marginal income of capital fund investment and predicting the risk, thus building up some portfolios of fund investment for model analysis to obtain both objectives and planning functions.In preparation of building up the teaching model, we firstly evaluate the risks and rewards of a single investment and a certain investment portfolio to seek understanding on the feasibility and the efficiency of the categorized fund investment. Finally, creating personal favorites and indifference curve based on various investors. Based on the research of the risks and rewards of the fund investment, we have selected 10 examples for data processing.After using combined analysis model on the categorized fund investment, we were able to gain a definite conclusion of the categorized portfolios. At the same time, we also used the model analysis to obtain both objectives and planning functions on the risks and rewards by using A preferential rule system to work the weighted sum and translating it into a firm conclusion, thus we are able to quantify the categorized data. Corresponding to the sampling efficiency grading limits of the risks various different investment portfolios results.Finally, the model was further discussed, analyzed and improved. The advantages and disadvantages comparison was made and evaluated. 【Key Words】：Investment portfolios efficiency frontier indifference curve special co-efficiency weighting method dual objectives and planning functions 一、引言证券投资基金是一种实行组合投资、专业管理、利益共享、风险公担的集合投资方式。其中，复合型基金是介于股票基金和债券基金之间的一种基金，其投资范围限于股票市场和债券市场。因此，我们可根据投资者的风险收益偏好，构建复合基金的投资优化方案。我们将根据不同投资者的风险收益偏好，构建复合基金的投资组合。基金组合是以多种基金作为投资对象，在控制风险的前提下来达到投资收益的最大化。在对投资组合进行构建分析时，我们首先采用证券组合分析法，对所选基金组合的可行域和有效边界进行求解，然后根据不同投资者的个人偏好，选出不同的无差异曲线。然后令无差异曲线簇与有效边界相切，其中无差异曲线簇与有效边界的切点，即为最满意的有效组合，这样我们就可以得到相应的定性分析。再根据所求的无差异曲线，制定相应的双目标规划模型，得到偏好系数加权，将双目标转变为单目标，定量地求出不同偏好的投资组合。二、模型假设与符号说明2-1模型的假设与适用条件1. 投资收益由周平均收益率来表示，风险则由未来可能收益率与期望收益率的偏离程度（即标准差）来反映。2. 不考虑投资基金时带来的一系列费用（如基金转换费等）。3. 投资者只能按照市场价格买入或卖出基金，且此买卖行为对基金价格不造成影响。4. 假设资金足够充裕，对投资者的投资行为不造成限制。2-2符号说明W: 投资者拥有的全部资金I: 基金组合的总收益R: 基金组合的总风险：供投资者选择的基金：基金的收益率：基金的平均收益率：购买基金的风险损失率：投资于基金的比例：投资者风险偏好系数：基金组合的净收益三、模型准备3-1单个投资基金的收益和风险3-1-1.基金的收益基金的收益主要由收益率来体现，收益率的计算公式如下：收益率=投资期限一般以“年”作单位。在股票投资中，其收益率可转化为以下计算公式：由于在通常情况下，收益率是一个受多种因素影响的随机变量，因此我们假设收益率服从某种概率分布。不同收益率所对应的概率如下表所示：表3-1 不同收益率对应的概率收益率概率收益率数学期望的公式如下：现实中，投资者一般通过历史数据来估计期望收益率，假设证券的月或年实际收益率为（t=1，2，3，n），那么估计期望收益率的计算公式为：3-1-2.风险及其度量任何投资行为都存在风险，实际收益率总会与期望收益率有偏差。期望收益率是指可能实际值与预测值的平均偏差达到最小的点估计值。可能收益率越分散，它们与期望收益率的偏差程度就越大，投资者承担的风险也就越大。因此风险的大小由可能收益率与期望收益率的偏离程度来反映，而这种偏离程度则由收益率的标准差进行度量。其标准差的平方（即方差）可表示为：上式中：可能收益率发生的概率；标准差。假设证券的月或年实际收益率为（t=1，2，3，n），那么方差的公式也可为：通过求出方差，再求出其算术平方根，即可求出标准差。3-2投资基金组合的收益和风险单一基金的收益率和风险可用期望收益率和标准差来表示，而基金组合是由多个单一基金组成，每个基金均占一定的比例。因此，基金组合也可看作一个整体，其收益率和风险也可用期望收益率和方差来表示。3-2-1.基金组合（含两支）的收益和风险设某投资者将其资金W分别以比例、投资于基金M、N（）来构成一个基金组合T。到期时，基金M、N的收益率分别为、，则基金组合T的收益率为：其中当投资比例k为负数时，则表示该组合卖空了基金M，并将投资者所有资金W买入基金N。由于，所以。又因为、对于投资者而言为未知数，所以、为随机变量，我们可以以期望值和方差对其分布进行简化描述。基金组合T的期望收益率和收益率的方差为：上式中：相关系数； 协方差，记为COV(M,N)。选择不同的组合比例，可以得到基金M、N的不同组合，从而得到不同的期望收益率和方差。投资者可以因此根据自己的对收益率和方差（风险）的偏好，选择最满意的组合。3-2-2基金组合（含多支）的收益和风险设投资者分别将资金W以比例、投资于、支基金。若存在卖空，则比例系数可为负数。与上述两种投资基金所组成的组合情形一样，基金组合的收益率等于每支基金的收益率的加权平均。设的收益率为，则基金组合T=(、)的收益率为：由此可推导得基金组合T的期望收益率和方差为:上式中：基金组合T的方差；和的相关系数。3-3.基金组合（含两支）的可行域和有效边界3-3-1基金组合的可行域若用期望收益率和标准差来描述一支基金，则可以建立以收益率为纵坐标、标准差为横坐标的平面直角坐标系，坐标系中的任意一点均可表示基金。相应地，由于基金组合随组合比例的变化而变化，所以其轨迹为经过M和N的组合线，该组合线描述了在该坐标系中基金M、N所有可能的组合。由上述公式可得由M、N组成的基金组合T的组合线方程：若给定基金M、N的期望收益率和方差，则组合线的不同形状由基金M、N的不同关联性决定。其存在的情况如下：若两者完全正相关，则=1,方程可变为:若不允许卖空，则与是线性关系， 与也是线性关系，可推出与也是线性关系。因此得到的基金M、N的组合线为一条连接两点的直线。图3-1 =1时的组合线若两者完全负相关，则=-1 这时，与是分段线性关系，如下图所示：图3-2 =-1时的组合线由图像可得，在此情况下，令为0则可得到一个无风险组合，其中, 由于，所以须同时买入基金M和N，就可得到无风险的收益率： 一般情况下，任意两支基金之间并不完全相关，即-1 1，这时的组合线为一条圆锥曲线。随着的变化，图像分别呈现不同的曲线形状，如下图所示：图3-3 不同相关系数的组合线3-4基金组合（含多支）的可行域和有效边界一般地，当有多支基金构成一个基金组合时，其可行域是所有基金通过组合构成的一个区域，其形状如下图所示：图3-4不允许卖空时组合的可行域 图3-5允许卖空时组合的可行域 相应地，可行域的求解公式如下： 因此，可行域的形状不但由单支基金的和以及每支基金收益率之间的相互关系决定，还由投资组合中各基金所占的资金比例决定。(2)基金组合的有效边界在实际中，投资者都尽可能地追求收益而迴避风险。这种心理现象可由以下原则来描述：（1）若两种基金组合具有相同的风险和不同的期望收益率，即， 。假设，则投资者选择期望收益率高的组合为M。（2）若两种基金组合具有相同的期望收益率和不同的风险，即， 。假设，则投资者选择方差较小的组合为N。以上所述的基金组合选择原则，我们可称为投资者的共同偏好原则。根据共同偏好原则，我们可以将所有被投资者都认为差的组合排除，余下部分则可称为“有效证券组合”。由于有效组合不仅仅为单一基金，所以我们可将可行域的上部分，称之为“有效边界”。图3-6 有效边界如图所示，A点是上边界和下边界的交汇点。由于这一点所表示的组合方差最小（即风险最小），因此我们可称之为“最小方差组合”。3-5个人偏好与无差异曲线 无差异曲线是对一个特定的投资者而言，根据他对期望收益率和风险的偏好态度，按照期望收益率对风险补偿的要求，得到的一系列满意程度相同的（无差异）证券组合在均值方差（或标准差）坐标系中所形成的曲线，如图3-7。一般无差异曲线的特征：1)无差异曲线是一条向右下方倾斜的线，斜率是负的。 2）由于通常假定效用函数是连续的，所以在同一个坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，可以有无数条无差异曲线。同一条曲线代表相同的效用，不同的曲线代表不同的效用。 3）无差异曲线不能相交。否则无差异曲线的定义会和它的第二特征发生矛盾。 4）无差异曲线凸向原点。 这就是说，无差异曲线的斜率的绝对值是递减的。图3-7对于某投资者，若任意给定一个基金组合，基于他对风险的考虑，可得到几个满意程度相同的（无差异）基金组合，而这些组合恰好在-坐标系上形成一条曲线。为了简化计算过程，我们把原无差异曲线的横坐标（1/（Ir）转化为其倒数，得到如图3-8的无差异曲线。图3-8投资者的无差异曲线因此，我们的无差异曲线具有以下新特点：1）无差异曲线的形状为由左至右向上弯曲的平滑曲线。因为风险越高，基金收益率一般越大；2）对于同一投资者而言，同一条无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度相同（如图3-8所示，曲线经过的组合A、B无差异）；不同无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度不同，且无差异曲线所在位置越高，曲线上的基金组合则越理想。（如图3-8所示，组合C比组合A、B、D更理想）；3）基金组合给投资者带来的满意程度随无差异曲线位置的增高而增大；4）无差异曲线向上弯曲的程度越小，投资者承受风险的能力越强。 四、模型建立与求解4、模型建立与求解4-1实证设计描述4-1-1样本基金的选取与数据处理实证研究对象为契约型-开放式-股票型基金。我们选择了10支运行时间较长，数据信息充分，具有可比性的基金，即：银华锐进、富国天丰、东方稳健回报 、嘉实主题精选、华商盛世成长、华富债A、华富债B、国联安增利A、博时信用债券AB、华商收益增强A 。我们首先收集所选取的10支基金最近一周的数据，然后再计算出这10支基金最近一周的期望收益率与收益率标准差，如表4-1所示：表4-1 10支股票型开放式基金的周收益率计算基金代码基金简称基金净值最近一周期望收益率%收益率标准差%150019银华锐进1.16102.931.65161010富国天丰1.08900.650.64400009东方稳健回报1.10800.271.69070010嘉实主题精选1.37101.181.52630002华商盛世成长1.88721.321.57410004华富债A1.16520.321.48410005华富债B1.16430.321.67253020国联安增利A1.14101.970.23050011博时信用债券AB1.07700.191.68630003华商收益增强A1.14001.061.544-1-2基准组合的选取实证研究方法采用的是单因素模型，需要确立一个业绩研究的基准市场组合。从投资者的利益出发，选择单一市场指数更有利于其投资基金的收益与市场收益的比较。因此，实证研究的基准组合采用上证综合指数作为基准。其中，上证指数基准组合的周收益率的计算公式如下：基准组合周收益率=（周末收盘指数- 周初收盘指数）/ 周初收盘指数4-1-3无风险利率的计算由于我国银行储蓄占居民金融资产的比例较大，因此采用银行定期存款年利率作为无风险利率。2010年我国银行定期存款年利率为2.25%，因为2010年央行规定取消征收利息税，所以无风险利率即为2010年的银行定期存款年利率，并按照一年52周折算为周利率。4-2模型的建立与求解4-2-1模型一：基金组合分析模型（定性分析）4-2-1-1建立有效边界和可行域根据模型准备中所推导的基金组合的可行域和有效边界中关于组合线的公式如下:其中：基金组合投资的期望收益率；:单支基金的收益率；:第i支基金的所占比例；:第i支的收益率风险；：第i支基金和第j支基金的相关系数。根据以上公式，我们代入数据，得出上述10支基金所形成的可行域的图形（图中的拐点处的数字为基金的代码）。如下图：图4-1 不允许卖空时的10支基金所形成的可行域图4-2 允许卖空时的可行域由模型准备所推导的有效边界图像如下图所示:图4-3 有效边界4-2-1-2再次讨论投资者的偏好问题对于某一投资者，无差异曲线簇与有效边界的切点所表示的组合是其最满意的有效组合。由图4-4可得，根据无差异曲线特点可知，投资者承受风险能力与投资者相比较低，因此前者的切点（最满意点）比后者的更低一些，即图4-4中的最优解1，最优解2。图4-4 投资者不同保守程度的最满意点4-2-2模型二:双目标规划模型（定量分析）4-2-2-1模型建立假设投资者的投资总金额为定值，依据以上评价，可确定对某一支基金进行投资，使得其收益最大、风险最小。因此，该问题可转化为一个双目标规划问题，其中该问题的决策变量就是各支基金投资额占总投资额的比例，即投资于基金的比例。对于规划问题，核心是要找出目标函数及其约束条件。4-2-2-1-1目标函数的建立投资组合的总收益I等于各支基金的投资收益总和与投资总资金的差值，即：其中: W: 投资者拥有的全部资金：基金的平均收益率：投资于基金的比例投资组合的总风险R等于各只基金的风险损失的总和，即：其中：购买基金的风险损失率4-2-2-1-2约束条件的求解该问题的约束条件就是要求所有基金的投资额占总投资比例之和等于1， 且，即：通过上面对目标函数和约束条件的求解，可建立如下的双目标规划模型：4-2-2-1-3目标函数的转化运用偏好系数加权法, 将模型中的两个目标分别赋予比例和1-，来分别表示投资者赋予总收益和总体投资风险的比例数，则以上双目标规划就变为如下的单目标规划：比例数和1-分别体现投资者对总收益和总体投资风险两者的重视程度, 的取值范围为0,1, 数值越小, 则表示投资者越重视总体风险的大小。当=0时，则表示投资者绝对重视风险；当=1时，则表示投资者无视投资风险, 只追求总投资收益。因此，简化以上模型得： 由化简后的模型可得：该模型是一个含有参数的线性规划模型，因此要对该规划模型进行参数分析，即分析投资者在不同偏好下的净收益下，得出最优值关于偏好系数的函数关系。4-2-2-2模型的求解运用参数规划技术，求出最佳净收益Io /w与偏好系数的关系如下所示： 然后依据以上偏好系数的范围，求出几个有效基金组合，如表5-2所示：表5-2不同范围的10基金的有效基金组合投 资 比 例 代码 / 简称00.636290.636351150019银华锐进00.22720.03850