2017年春学期高三数学期中试卷（丹阳附答案）

1 / 13 2017 年春学期高三数学期中试卷（丹阳附答案） 本资料为 档，请点击下载地址下载全文下载地址 江苏省丹阳高级中学 2016年度第二学期期中考试 高三数学（ 1 16班） 第 卷 一、填空题 (本大题共 14小题，每小题 5分，计 70分，请将答案填入答题区 ) 合， 则 2复数的实部为 3一个盒子里装有标号为 1， 2， 3， 4， 5的 5 张标签，随机地抽取了 3张标签，则取出的 3 张标签的标号的平均数是 3 的概率为 4执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第 3 个数是 的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为 10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字 1未被污损，即 9， 10， 11， 1，那么这组数据的方差可能的最大值是 、为正数 )，若，则的最小值是 _ 2 / 13 是与的等比中项，则该数列的前项和取最小值时，的值等于 8.设 aR ，函数是偶函数，若曲线 )的一条切线的斜率是 32，则切点的横坐标为 _ 9已知一个圆锥底面的面积为 2，侧面积为 4，则该圆锥的体积为 10已知双曲线（ a 0， b 0） 的左、右顶点分别为 A、B 两点，点 c（ 0，），若线段 ，则双曲线的离心率为 11在 ， A=30 ， ，且，则 = ，点在直线上，若满足等式的点有两个，则实数的取值范围是 则的最小值为 . 14、已知函数，且对于任意都有恒成立。则实数的取值范围是 解答题 (本大题共 6 小题，共 90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 15（本小题满分 14分） 已知函数 （ 1）当时，求的值域； （ 2）若 内角 A， B， 为 a， b， c，且满足，求的值 3 / 13 16（本小题满分 14分） 如图，在四棱锥 ，底面 E、 D 的中点 . （ 1）求证： 平面 （ 2）若 D，且平面 明：平面 17（本小题满分 14分） 设椭圆（）的焦点在轴上 . （ 1）若椭圆的离心率，求椭圆的方程； （ 2）设 焦点， x+y=与椭圆 E 的一个公共点 ; 直线 ，连结 的夹角是否为定值，若是定值，求 出该定值；若不是定值，说明理由 . 18（本小题满分 16分） （ 2）如果要求六根支条的长度均不小于 2c，每个菱形的面积为 130么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？ 19（本小题满分 16分） 已知数列的各项都为正数，且对任意，都有 (为常数 ). （ 1）若，且，成等差数列，求数列的前项和； （ 2）若，求证：成等差数列； 4 / 13 （ 3）已知， (为常数 ),是否存在常数，使得对任意 都成立？若存在 不存在，说明理由 . 20（本小题满分 16分） 已知函数， （ 1）函数，其中为实数， 求的值； 对，有，求的最大值； （ 2）若（为正实数），试求函数与在其公共点处是否存在公切线，若存在，求出符合条件的的个数，若不存在，请说明理由 江苏省丹阳高级中学 20172017 学年度第二学期期中考试 高三数学附加题（第 卷） 21 B 选修 42：矩阵与变换 （本小题满分 10分） 若点在矩阵对应变换的作用下得到的点为，求矩阵的逆矩阵 . c 选修 44：坐标系与参数方程 （本小题满分 10分） 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负 半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为 . （ 1）求出圆的直角坐标方程； 5 / 13 （ 2）已知圆与轴相交于，两点，若直线：上存在点使得，求实数的最大值 . 22（本小题满分 10分） 如图，在直三棱柱中，已知， （ 1）求直线与平面所成角的正弦值； （ 2）求二面角的大小的余弦值 . 23（本小题满分 10分） 某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对 1 5 号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自 由选择带着目前的奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案 1 5 号门对应的家庭梦想基金依次为 3000 元、 6000 元、 8000 元、 12000 元、24000 元（以上基金金额为打开大门后的累积金额，如第三扇大门打开，选手可获基金总金额为 8000元）；设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为 i=1， 2， ， 5），且 i=1， 2， ， 5），亲友团正确回答每一扇门的 歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为； 6 / 13 （ 1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得 12000 元家庭梦想基金的概率； （ 2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为 X（元），求 X 的分布列和数学期望 参考答案 1. 3. 22 9. 10. 11. 6 12. 13. 1） f （ x） =23 =3 +3=22x+） +1， x0 ， ， 2x+ ， ， 2x+） ， 1， f （ x） =22x+） +10 ， 3； （ 2） =2+2 A+c）， 2A+c） =2A+c）， A+c） +A+c） =2A+c）， 7 / 13 A+c） +A+c） =2 由正弦定理可得 c=2a，又由 =可得 b=a， 由余弦定理可得 =， A=30 ，由正弦定理可得 ， c=90 ，由三角形的内角和可得 B=60 ， f （ B） =f（ 60 ） =2 16.（ 1）证明：因为点 E、 以 EF又在矩形 ， AB所以 B ，又 所以 证明：在矩形 ， AD又平面 面 平面 D， 以 面 又 以 因为 D 且 F 是 中点，所以 由 及 PD ，所以 面 1）由题知，由得 00=0，故 或 20（舍），故椭圆 E 的方程为； 8 / 13 （ 2）设 P( c， 0)， F2(c， 0)，则 联立得 8， 即 ， 故 ， ，直线 方程为，令 x=0，则，即点 Q 的坐标为， 故，（ 9 分） 故 故与的夹角为定值 1）由题意，水平方向每根支条长为 c， 竖 直 方 向 每 根 支 条 长 为 c ，菱 形 的 边 长 为c 从而，所需木料的长度之和 L= =c （ 2）由题意，即，又由可得 所以 令，其导函数在上恒成立， 故在上单调递减，所以可得 13 分 则 = 因为函数和在上均为增函数， 所以在上为增函数， 故当，即时 答 ：做这 样一个 窗芯至 少需要 c 长的条形 木料 1）当时， ，数列为等比数列，设公比为， 2 分 则成等差数列， ，即， ， 4 分 ，数列的前项和； 5 分 （ 2）当时， 令，则， ， ， 成等差数列； 8 分 （ 3）存在常数使得对任意都成立 .9 分 证明如下：令， 对任意，都有， ，为常数， 10 / 13 ， 得：， ， ， 即 :，亦即：， 数列为常数列， 14 分 ， 令，则， ， 1 5 分 ， 即存在常数使得对任意都成立 .16 分 （ 1）由得， 记，则， 记，则，当时， i 当时，即在上是增函数， 又，则， 即在上是增函数，又，则， 即在上是增函数，故，； 存在，使得在小于 0, 即在上是减函数，则，即在上是减函数，又，则，又， 11 / 13 即在上是减函数，故，矛盾！ 分 故的最大值为； 9 分 （ 3）设函数与在其公共点处存在公切线， 则 1 分， 由 得，即代入 得， 13 分， 记，则， 得在上是增函数，上是减函数， 又， 得符合条件的的个数为 证明小于 0 的扣 2分） 题意知，即 所以解得从而 由，解得 解：（ 1）由得，即， 即圆的标准方程为 （ 2）：的方程为，而为圆的直径， 故直线上存在点使得的充要条件是直线与圆有公共点， 故，于是，实数的最大值为 为在直三棱柱中，所以分别以、所在的直12 / 13 线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则 , 因 为 是 的 中 点 ， 所以， 2 分 （ 1）因为，设 平面的法向量， 则，即，取， 所以平面的法向量，而，所以， 所 以 直 线 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值为； 5 分 （ 2），设平面的法向量， 则，即，取，平面的法向量， 所以， 二 面 角 的 大 小 的 余 弦值 10 分 事件 “ 该选手回答正确第 为事件 “ 使用求助回答正确歌曲名称 ” 为事件 B，事件“ 每一扇门回答正确后选择继续挑战下一扇门 ” 为事件 c；则， P（ B） =， P（ c） = （ 1）设事件 “ 选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦 想基金 ” 为事件 A，则： A= 选手在第三扇门使用求助且最终获得 12000元家庭梦13 / 13 想基金的概率为； （ 2） X 的所有可能取值为： 0， 3000， 6000， 8000， 12000，24000； P（ X=3000） =P（