《极限的基本性质》PPT课件.ppt

第二节 极限的基本性质 第二章 一、收敛数列的性质 1. 唯一性 2. 有界性 3. 保号性、保序性 4. 收敛数列与其子列的关系 二、函数极限的性质 1. 唯一性 2. 局部有界性 3. 局部保号性 4. 函数极限与数列极限的关系 第二章 一、收敛数列的性质 1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性) 即若 则必有 若极限 则极限唯一. ( 用反证法) 及且 取因 N1 N+, 使当 n N1 时, 假设 即当 n N1 时, 从而 使当 n N1 时, 证法1 同理, 因 故 N2 N+, 使当 n N2 时, 有 从而 使当 n N2 时, 有 从而 使当 n N1 时, 则当 n N 时, 矛盾！故假设不真 ! 例1 证明数列 是发散的. 证 用反证法. 假设数列收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 对于则存在 N , 使当 n N 时 , 有 因此该数列发散 . 于是推得 矛盾！ 区间长度为1 这与 2. 有界性 例如:有界 无界 即若 使(n =1,2,). 定理2.2 (收敛数列的有界 性) 收敛的数列必定有界. 证 设 取则当时, 从而有 取 则有 即收敛数列必有界. 有 注 有界性是数列收敛的必要条件， 但不是充分条件. 收敛 有界 关系： 例如,虽有界，但不收敛 .数列 推论 无界数列必发散. 3. 保号性、 保序性 定理2.3 (收敛数列的保号性) (1) 若 则使当n N 时， ( 0 , 取 证 (1) (2) 用反证法证明. 注 如： 推论2.3 (保序性 ) 使当n N 时，恒有 (2) 若 时, 有 证 ( 用反证法) 取 因故存在 N1 , 使当 n N1 时, 假设 从而 当 n N1 时, 从而 同理, 因故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有 则当 n N 时, 便有 与已知矛盾, 于是定理得证. 当 n N1 时, 4. 收敛数列与其子数列的关系 (1) 子数列的概念 称为数列 xn 的一个子数列(或子列)。 例如, 从数列中抽出所有的偶数项 是其子数列. 它的第k 项是 组成的数列： (2) 收敛数列与其子数列的关系 定理2.4 也收敛，且 证 设 的任一子数列 . 若则当 时, 有 取正整数 K , 使于是当时, 有 从而有 注 定理 1 某收敛 例如， 但 发散. 2 若数列有两个子数列收敛于不同的极限， 则原数列一定发散 . 例如， 发散 ! 二、函数极限的性质 1. 唯一性 定理2.1 ( 函数极限的唯一性) 2. 局部有界性 如： (2) 若 则 X 0, 函数 f (x) 有界. 使得当时， 3. 局部保号性 定理2.3 (函数极限的局部保号性) (1) 如果且 A 0 ,则存在 ( A 0 (或 0), 时, 恒有 f (x) 0 时, 有 f (x) g (x), 但是 不能！ 内容小 结 1. 收敛数列的性质: 唯一性 , 有界性 , 保号性, 保序性; 任一子数列收敛于同一极限 2. 函数极限的性质: 唯一性 , 局部有界性 , 局部保号性, 局部保序性; 思考与 练习 1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于的子数