二次函数的图像和性质1.ppt

二次函数y=ax2+bx+c的图象1 二次函数y=ax2的性质 .顶点坐标与对称轴 .位置与开口方向 .增减性与最值 开口大小 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=ax2 (a0) y= ax2 (a0) y=ax2 +c(a0时,在x轴的上方(经过一,二象限); 当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限). 向上向下 当x=0时,最小值为c. 当x=0时,最大值为c. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大 . 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小 . 根据图形填表： w在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x+1)2的图象 w完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,它们之间有什么关系? 函数y=a(x-h)2(a0)的图象和性质 x-4-3-2-101234 27123031227 27123031227 27123031227 27 12 30312 27 （1）函数y=3(x+1)2的图象 与y=3x2和y=3(x-1)2的图象 有什么关系?它是轴对称图形 吗?它的对称轴和顶点坐标分 别是什么? （2）x取哪些值时,函数 y=3(x+1)2的值随x值的增大而增 大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而减少？ y 二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象 X=-1X=1 （1）函数y=3(x+1)2的图象与y=3x2和y=3(x-1)2的图象有 什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分 别是什么? （2）x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增 大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？ 二次函数y=a(x-h)2的性质 .顶点坐标与对称轴 .位置与开口方向 .增减性与最值 开口大小 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=a(x-h)2 (a0) y=a(x-h)2 (a0时,向右平移;当h0时向上平移 ;当k0) y=a(x-h)2+k(a0 a0) y=a(x-h)2+k(a0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称 轴右侧,y都随 x的增大而增大. a0时,向右平移;当h0时向上平移;当k0) y=a(x-h)2+k(a0,开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2). 作出函数y=2x2-12x+13的图象. X=1 (1,2) X=3 (3,-5) 1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. w例.求次函数y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标 函数y=ax+bx+c的顶点式 w一般地,对于二次函数y=ax+bx+c,我们可以利用配方法推导 出它的对称轴和顶点坐标. w1.配方: 提取二次项系数 配方:加上再 减去一次项系 数绝对值一半 的平方 整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 化简:去掉中括号 这个结果通常 称为求顶点坐 标公式. 顶点坐标公式 因此,二次函数y=ax+bx+c的图象是一条抛物线. 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： w如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左 面的一条抛物线可以用y=0.0225x+0.9x+10表示,而且左右两条抛 物线关手y轴对称 w钢缆的最低点到桥面的距离是少？ w两条钢缆最低点之间的距离是多少？ w你是怎样计算的？与同伴交流. 函数y=ax2+bx+c(a0)的应用 Y/m x/m 桥面 -5 0 5 10 .钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的？与 同伴交流. 可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得 钢缆的最低点到桥面的距离; Y/m x/m 桥面 -5 0 5 10 两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？ 与同伴交流. w想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗? Y/m x/m 桥面 -5 0 5 10 w你还有其它方法吗？与同伴交流. w直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的最低点到桥 面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离 Y/m x/m 桥面 -5 0 5 10 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质 .顶点坐标与对称轴 .位置与开口方向 .增减性与最值 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=ax2+bx+c(a0) y=ax2+bx+c(a0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称 轴右侧,y都随 x的增大而增大. a0时,向右平移;当 0时向 上平移;当 0, 开口 向上 ; a0,在对称轴 左侧,y都随x的 增大而减小,在 对称轴右侧,y 都随 x的增大 而增大.; a0,函数y=ax2与y=ax+b的图象大致是( ) A B C D y y yy xx xx oo oo C B D 6.下列各点中与点(1,4)在同一个二次函数 y=ax2图象上的是( ) A. (2,-16) ; B.( -2,16); C.(-2,-16) ; D. (16,2) ; B 解法训练: 1.已知:函数 是关于x的二次函数.求: (1)满足条件的m值. (2)当m为何值时,抛物线有最低点?并求出这个最低点.这 时当x为何值时,y随x增大而增大? (3)当m为何值时,抛物线有最大值?最大值是多少?这时当 x为何值时,y随x的增大而减小? m= -3或m=2. m=2时,最低点是(0,0); 当x0时,y随x的增大而增大. m=-3时,最大值是0; 当x0时,y随x的增大而减小. 2.一个函数的图象是一条以y轴为对称轴 原点为顶点的抛物线,且经过点A(-2,2) (1)求这个函数的解析式; (2)画出这个函数的图象 ; (3)写出抛物线上与点A关于y轴对称的点 B的坐标,并计算ABO的面积. 面积为4 存在点C( ,1);( ,1);( ,3 );( ,3). A(-2,2) B(2,2) C C C C (4)在抛物线上是否存在点C,使SABC= SOAB ,如果存在写出 点C的坐标,如果不存在说明理由? 1.将函数y=2x2的图象向左平移3个单位,然后将图象绕顶点在 原坐标系内旋转1800,求旋转后图象对应的函数解析式. 综合训练: 2.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且 y=ax2过点(1,2).则平移后的解析式为_; y= -2(x+3)2 y=2(x+1)2-8 3.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2. 逆向思考,由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知: 先向左平移3个单位,再向上平移5个单位. 4.画出函数y=5x2与函数y=-5x2的图象并根据图象分别说明两函数 的增减性?是否有最大值或最小值,若有是多少? 5如果抛物线y=2x2与直线y=kx-3只有一个公共点,求k值. 6.已知:抛物线y=-x2将抛物线向上平移后,抛物线顶点D和抛物线 与x轴二交点A,B围成ABD.求顶点在什么位置时, ABD为正三 角形且写出此时抛物线的解析式 k= D AB w填表: 想一想,填一填,