高等代数--第一章 行列式.ppt

第一章第一章 行列式行列式 v1.1 二阶与三阶行列式 v1.2 排列 v1.3 n阶行列式 v1.4 n阶行列式的性质 v1.5 行列式按一行（列）展开 v1.6 Cramer法则 本章内容 n行列式概念的形成 n行列式的基本性质和计算方法 n利用行列式来解线性方程组 山东理工大学 1 二阶与三阶行列式 它们是从二元和三元线性方程组的公式解 中引出来的 山东理工大学 二阶行列式 二元线性方程组： 当二阶行列式 时, 该方程组有唯一解: 山东理工大学 三阶行列式 对于三元线性方程组, 我们同样可以得到 三阶行列式 山东理工大学 本章我们讨论一般的 n元一次方程组，即线性 方程组。在这一章中，我们将利用n行列式的 概念，将上述结论推广到n元线性方程组 的情形 山东理工大学 2 排列 n n 级排列的定义 n排列中两个数的顺序、反序 n排列的反序数 n奇排列、偶排列的定义 n对换的定义 n定理：一个对换改变排列的奇偶性 山东理工大学 定义1 由1，2，n组成的一个有序数 组称为一个n级排列. 如，2341是一个4级排列，54321是一个 5级排列。n级排列的总数是: n(n-1)(n-2)21=n! 12n称为自然排列. 定义2 在一个排列中，如果一对数的前后 位置与大小顺序相反，即前面的数大于后 山东理工大学 面的数，那么它就称为一个反序，一个排 列中，反序的总数称为这个排列的反序数. 排列 的反序数记为 例如: 定义3 反序数为偶数的排列称为偶排列； 反序数为奇数的排列为奇排列. 例如2431是偶排列；45321是奇排列； 123n是偶排列. 山东理工大学 我们同样可以考虑由任意n个不同的自然数所 组成的排列，一般也称为n级排列. 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余 的数不动，就得到另一个排列。这样一个变 换称为对换. 例如 3421经 3，1 对换就变成了1423.显 然，如果连续施行两次相同的对换就还原了. 山东理工大学 定理1 对换改变排列的奇偶性. 证明 先看一个特殊情况，即对换的两个 数在排列中是相邻情形. 排列 j k （1） 经过j, k对换变成 K j （2） 这里“”表示那些不动的数. 显然(1)与(2)中，不同的只是j, k的次序； 如果(1)中 j, k 构成反序，那么(2)的反序数减少 一个； 如果(1)中 j, k不构成反序，那么(2)的反序数增 加一个. 无论增加1，还是减少1，排列的反序数的奇偶 性总是变了. 再看一般情形. 设排列 (3) 经 j, k 对换，(3)变成 (4) 不难看出，这样一个对换可以看为，k经s+1个 相邻对换将（3）变为 再将j一位一位地向右移动，经过s个相邻对换 变成排列（4）. 因此，j,k对换，可以通过 2s+1个相邻对换实现. 而2s+1是奇数，所以， 改变排列的奇偶性. 定理2在所有的n元排列中奇偶排列各为n!/2. 3 n阶行列式 n二阶、三阶行列式的定义 nn阶行列式的定义 n特殊行列式的计算 二阶行列式与三阶行列式定义： （1） （2） 它们都是一些乘积的代数和，每一项是位于不 同的行和不同的列的元素构成的，并且展开 式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成. 在（ 2）中每一项的一般形式可以写成 其中 是1，2，3的一个 排列. 可以看出 是偶排列，带+号； 奇排列带-号. （1）式也符合这个原则. 定义4 n阶行列式 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 （3） 的代数和，这里 是12n的一个排列 每一项（3）都按下列规则带有符号：当 是偶排列时，（3）带正号，当 是奇排列时，带负号. 定义可写成 （4） 这里 表示对所有n级排列求和. 由定义立即看出，n级行列式是由n!项组成的 . 例1 计算 例2 计算上三角形行列式 为主对角线(从左上角到右下角的对角线)元素 的乘积 对角形行列式 由于乘法满足交换律，所以行列式中的项可 以写成 （5） 其中 是两个n 级排列。利 用排列的性质可以证明（5）的符号等于 （6） 事实上 为了根据定义来决定（5）的符号， 把这n个元素从新排一下，使得它们的行指标 成自然排列，即排成： （6） 于是它的符号是 （7） 下面证明（5）与（7）是一致的. 由（5）变到（6），经一系列元素对换， 每作一次对换行指标与列指标的排列 与 都同时作一次对换，所以和的奇 偶性不变，即 行列式又可定义为 下三角形行列式 4 n阶行列式的性质 n按行列式的定义计算行列式，要算n!项 ，计算需n!(n-1)个乘法，所以按定义 计算几乎是不可能的. n性质1-7 n运用性质计算行列式 性质1 行列式与它的转置行列式相等 性质2 行列式某一行有公因子，可以提出去 ，即 推论 行列式中一行为零，值为零. 性质3 性质4 对换行列式两行位置，行列式反号 首先 和 中含有相同的项 对于 中任意一项 符号是 在 中，该项 也出现， 注意 在第 K 行， 在第 i 行，符号是 得到 性质5 如果行列式中两行相等，值为零. 证明 由性质4 性质6 如果行列式中两行成比例，值为零. 证明 由性质2，5 性质7 把一行的倍数加到另一行，行列式不 变. 证明 例1 计算n级行列式 解 例2 一个n阶行列式，假设它的元素满足 （4） 我们来证明，当n为奇数时，此行列式为零。 证明 由（4）式得 即 因此，行列式为：(见下页) 所以，当n为奇数时，D=-D，即D=0。 5 行列式按一行（列）展开拉普 拉斯定理（介绍） n余子式的定义 n代数余子式的定义及其性质 n定理3 行列式按行(列)展开定理 n拉普拉斯定理（介绍） 定义5 在行列式 中，划去元素 所在的 i 第行与第j列，剩下的 元素按原来的排法构成的一个n-1阶行列 式 (1) 称为元素 的余子式，记为 . 定义 6：元素 的余子式 乘以符 号项 ，称为元素 的代数余子 式，记为 定理3 行列式按行(列)展开定理 设 表示元素 的代数余子式，则下列公式成 立： (2) (3) 证明见书 定理4： 符号同定理3，同样得到 在计算行列式时，若某一行（列）有许多0元 素，则可用定理3，按此行（列）展开来计算 行列式。 例1 行列式 例2 Vandermonde行列式 证明 用数学归纳法。n=2时， 成立。假设n-1阶成立， 现证明n阶也成立。 在D中，第n行减去n-1行的 倍 ，n-1行减去n -2行的 倍，依次类推，得 Vandermonde行列式值为零的充分必要条 件是 中，至少有两个相等。 Laplace 定理 n定义7 在一个n级行列式D中任意选定k 行k列(kn). 位于这些行和列的交点上 的 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M，称为行列式D的一个k级子 式. 在D中划去这k行k列后余下的元素按 照原来的次序组成的n-k级行列式称为k 级子式M的余子式. 记为 n从定义可以看出，M也是 的余子式。 例1 在四级行列式 中选定第1、3行，第2、4列的一个二级子式 M的余子式 例2 在四级行列式 中 和 是一对互余的子式。 定义8 设D的k级子式M在D中所在的行、列指 标分别为 ，则 称为M的代数余子式 引理 行列式D的任一个子式M与它的代数余 子式A的乘积中的每一项都是行列式D的展开 式中的一项，而且符号也一致。 证明：略 Laplace 定理 n定理5 (Laplace)设在行列式D中任意取定了 K 个行. 由这k行元素所组成的一切k级子式与 它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D. 例 1.6 Cramer法则 n齐次线性方程组 n非齐次线性方程组 n克拉默法则 定理6 如果线性方程组 （1） 的系数行列式 那么线性方程组（1）有解，并且解唯一， 解可以通过系数表为 （2） 其中 j=1,2,n。 n1、方程组有解； n2、解是唯一的； n3、解由公式（2）给出 定理中包含三个结论 证明 1、把方程（1）简写成 （3） 首先证明（2）的确是（1）的解. 把（2）代 入第 i 个方程左端为 因为 所以 所以公式（2）确为方程（1）的解。 2、设 是方程（1）的另一个解 ，于是有 （4） 为了证明 我们将A中第k列元素的代数余子式 ，乘（4）中n个恒等式，有 把它们加起来，即得 （5） 等式右端为 按第k列展开结果。（5）式左端 ， 上式用了定理3 于是（8）即为 也就是 这就说明方程组最多有一组解。 1、2说明方程组仅有一组解，即公式（2）. 例 解方程组 解 系数行列式 所以方程组有唯一解 Cramer法则只对系数行列式不为零的情况成 立，行列式为零的情况将在下