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第6章 多自由度系统的振动 1 第6章 多自由度系 统的振动 第6章 多自由度系统的振动 2 多自由度系统指的是可以用有限个自 由度描述的振动系统。一般来说，一个n 自由度的振动系统，其广义位移可以用n 个独立坐标来描述，其运动规律通常可 用n个二阶常微分方程来确定。 多自由度振动系统的很多概念和研究 方法在两自由度系统中已经讨论。 第6章 多自由度系统的振动 3 建立振动系统运动微分方程的方法， 包括一般的动力学方法、影响系数法（刚 度影响系数和柔度影响系数）、拉格朗日 方程和能量方法等。 6.1 多自由度系统的运 动微分方程式 6.1 多自由度系统的运动微分方程式 第6章 多自由度系统的振动 4 【T6-10】求系统的微振动微分方程。 6.1 多自由度系统的运动微分方程式 第6章 多自由度系统的振动 5 解法1：用动力学方法。 6.1 多自由度系统的运动微分方程式 解法2：计算动势能。 第6章 多自由度系统的振动 6 6.1 多自由度系统的运动微分方程式 第6章 多自由度系统的振动 7 对于有分支结构的m-k-c振动系统，可以用直观 目测方法直接形成振动系统的M、K 、C: 1. M为各个质量形成的对角阵; 2. K或C中的主对角线元素kii或cii为连接在质 量mi上所有弹簧刚度或阻尼系数的代数和; 3. K或C中的非对角线元素kij或cij为连接在质 量mi 和mj之间所有弹簧刚度或阻尼系数的串并联等 效刚度或阻尼，且为负值; 4. M、K 、C均为对称阵。 6.1 多自由度系统的运动微分方程式 第6章 多自由度系统的振动 8 例：用直观目 测方法直接形成 标准m-k-c自由 振动系统的M 、K。 作业：T6-9，6-11 6.1 多自由度系统的运动微分方程式 m1 m2 m3 m4 m5 k1 k2 k3 k4 k5 k8 k9 k10 k6 k7 第6章 多自由度系统的振动 9 无阻尼自由振动的运动方程为 6.2.1 主振型方程式 6.2.2 特征值和特征向量 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 利用两自由度系统的分析结果，假设方 程解的形式为 第6章 多自由度系统的振动 10 代入振动方程得到广义特征值问题： K-w2M称为特征矩阵。要使上式有解， 必须使其系数行列式为零： 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 上式称为频率方程或特征方程。由此可求 出n个特征根（固有频率）w2。 第6章 多自由度系统的振动 11 将每个特征根wi（固有频率）代入广义特 征值问题(Kw2M)X=0, 可得到相应的 非零向量X(i), 称为特征矢量,或称特征向量、 固有振型、固有向量、模态向量等。显然: 和两自由度一样，由上式只能求出振幅的 比值，而不能确定各振幅大小。 固有频率和特征向量只决定于系统本身的 物理特性，而与外部激励和初始条件无关， 它们都是系统的固有属性。 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 第6章 多自由度系统的振动 12 例T6-10中：设m1m31，m22，r1 ， k1k2k31。求固有频率和振型。 6.1 多自由度系统的运动微分方程式 第6章 多自由度系统的振动 13 解：代入数值得 代入|K-w2M|=0得： 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 理论求解很困难，一般通过试算或利用工具 软件，如Excel、MATLAB、Mathematica等。 第6章 多自由度系统的振动 14 利用Excel计算固有频率步骤： (1)定义变量。如在A1格“插入”-“名称”-“定义”w (2)输入公式。如在A2格输入 =w3-5*w2+6*w-1 (3)“工具”-“单变量求解”(只能求第一固有频率) (4)高阶特征值的求解要用 “工具”-“规划求解” 固有频率为： 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 第6章 多自由度系统的振动 15 分别代入(K-w2M)X=0得： 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 作业：T6-13 第6章 多自由度系统的振动 16 1.振型的基准化 由于固有振型X(i) 只是振幅的比例关系 ，各阶振型均有一个未确定的常数比例因子 。通常假设振型的某个元素为1，则其它元 素就可以表示为此元素的倍数，这种方法或 过程就是振型的基准化。 一般假设振型的第一个元素为1。 6.2.3 振型的基准化和标准化 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 第6章 多自由度系统的振动 17 2. 振型的标准化 另外一种确定振型各元素数值的方法 是，以某个限制条件来确定振型中的常数 因子。通常规定 XN(i)满足条件 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 满足这个限制条件的振型XN(i)称为标 准化（或正规化、归一化）的振型。 第6章 多自由度系统的振动 18 对方程(Kw2M)XN=0两边左 乘XN(i)T 可得到 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 注意：这里的XN(i)均为正规化后的 振型，而不是求解的原始主振型X(i) 。 第6章 多自由度系统的振动 19 3. 标准化振型与主振型的关系 将主振型 X(i)进行如下运算： 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 Mi称为广义质量（主质量、模态质量） 。设X(i)ci XN(i)，代入上式有： 所以 第6章 多自由度系统的振动 20 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 6.2.4 自由振动的运动规律 求出特征方程的n个特征值和对应的特征 向量后，即得到振动方程的n个线性无关的 特解，系统按任意一个固有频率作自由振动 ，称之为主振动，则第i 阶主振动为 (i1,2,n) 因而方程的通解应是上述特解的线性组合 第6章 多自由度系统的振动 21 或写为 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 其中常数ci、ai、Ai、Bi (i1,2,n)由初始 条件确定。例如给出t0时的位移向量x0和速 度向量v0 ，则得到含有2n个方程的方程组 或 第6章 多自由度系统的振动 22 【T6-26】图示系统中, m1m2 m3m, k1k2k3k, 设初始 位移为1, 初始速度为0, 求初始激 励的自由振动响应。 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 解： 第6章 多自由度系统的振动 23 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 前面的例题已经求得： 第6章 多自由度系统的振动 24 则响应为： 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 将振型代入并展开： 第6章 多自由度系统的振动 25 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 第6章 多自由度系统的振动 26 6.2无阻尼自由振动的特征值问题 解出各系数即可 代入初始条件得： 作业：T6-28 第6章 多自由度系统的振动 27 由广义特征值问题(Kw2M)X=0知 6.3 主振型的正交性 6.3 主振型的正交性 两边分别左乘X(j)T 和X(i)T得到 第6章 多自由度系统的振动 28 与第一式相减得： 由于K和M都是对称阵，上面第二式可写为 6.3 主振型的正交性 第6章 多自由度系统的振动 29 显然也有： （ij） 结论：当刚度矩阵K和质量矩阵M都是 对称阵时，n个固有频率对应的固有振型之 间关于K和M都是正交的。 所以： （ij） 6.3 主振型的正交性 第6章 多自由度系统的振动 30 这里的Mi和Ki是两个实常数，分别称为 系统的主质量和主刚度（或称模态质量和 模态刚度）。 由此可得到： 当ij 时： 6.3 主振型的正交性 第6章 多自由度系统的振动 31 6.4 主坐标 变换矩阵即振型矩阵，就是各阶振型 组成的方阵 6.4.1 变换矩阵 6.4 主坐标 第6章 多自由度系统的振动 32 6.4 主坐标 6.4.2 广义质量和广义刚度的对角矩阵 广义质量（主质量、模态质量）矩阵 Mp和广义刚度（主刚度、模态刚度）矩 阵Kp:主对角线元素为相应的主质量和主 刚度，其它元素为零。即 第6章 多自由度系统的振动 33 由主质量矩阵Mp和主刚度矩阵Kp可得 到如下关系： 6.4 主坐标 (将Mp或Kp右乘Q-1左乘Mp-1或Kp-1 可证)。 第6章 多自由度系统的振动 34 对振动方程用振型矩阵进行变换 6.4.3 用主坐标表示的运动方程 代入方程后左乘QT得 或 （i1，2，n） 6.4 主坐标 这样原方程就变成了n个独立的(解耦的)固有频率 为wi的简谐振动，这组广义坐标Z称为主坐标。 第6章 多自由度系统的振动 35 1. 标准振型矩阵 即由标准振型构成的方阵： 6.4 主坐标 6.4.4 标准坐标 由于 则有如下关系： 第6章 多自由度系统的振动 36 同理有 6.4 主坐标 标准振型矩阵满足如下关系： （将右乘QN -1即可证）。 第6章 多自由度系统的振动 37 2. 标准坐标（正则坐标）下的方程 对振动方程用正则振型矩阵进行坐标变换 代入方程后左乘QNT得到 （i1，2，n） 这组广义坐标ZN称为标准坐标(正则坐标)。 6.4 主坐标 第6章 多自由度系统的振动 38 设振动系统的初始条件为x0和 6.5 系统对初始激励的响应 6.5 系统对初始激励的响应 对其进行正则坐标变换，转换为标准坐标 （正则坐标）下的初始条件: 第6章 多自由度系统的振动 39 利用单自由度的响应公式可得到初始激 励下的正则坐标响应: （i1，2，n） 再变换到广义坐标x下的响应 上述过程也可以在主坐标下进行。 6.5 系统对初始激励的响应 第6章 多自由度系统的振动 40 无阻尼系统对初始激励的响应分析步骤: （1）建立振动方程，确定质量矩阵M和刚度 矩阵K; （2）求固有频率和振型; （3）确定标准（正则）振型矩阵; （4）对初始条件标准（正则）化; （5）计算标准（正则）坐标初始激励响应; （6）计算广义坐标初始激励响应。 6.5 系统对初始激励的响应 第6章 多自由度系统的振动 41 【T6-26】m1m2m3m，k1 k2k3k,设初始位移为1，初始速 度为0，用标准坐标变换方法求初 始激励下的自由振动响应。 解: （1） 6.5 系统对初始激励的响应 第6章 多自由度系统的振动 42 （2） 6.5 系统对初始激励的响应 第6章 多自由度系统的振动 43 （3）求正则振型矩阵： 6.5 系统对初始激励的响应 第6章 多自由度系统的振动 446.5 系统对初始激励的响应 第6章 多自由度系统的振动 45 （4）对初始条件正则化： 6.5 系统对初始激励的响应 第6章 多自由度系统的振动 46 （5）正则坐标下的初始激励响应 6.5 系统对初始激励的响应 第6章 多自由度系统的振动 47 （6）广义坐标下的初始激励响应 作业：用本节方法做T6-29 6.5 系统对初始激励的响应 第6章 多自由度系统的振动 48 6.6 无阻尼系统的强迫振动 6.6 无阻尼系统的强迫振动 求解强迫振动响应的方法是前面的坐标变换 方法，称为振型迭加法或称模态分析法。 即：利用振型矩阵，把描述系统运动的广义 坐标变换到模态坐标(主坐标或正则坐标)，把运 动方程变换成n个独立的方程，求得系统在每个 模态坐标下的响应，然后再得到系统在广义坐标 下的响应。这种坐标变换过程，实际上是将振型 进行组合迭加的过程和方法。 第6章 多自由度系统的振动 49 对方程进行标准坐标变换x=QNZN并左 乘QNT,利用其正交关系可得到： （i1，2，n） 或写为 n自由度无阻尼强迫振动的运动方程为 6.6 无阻尼系统的强迫振动 第6章 多自由度系统的振动 50 再考虑前面给出的初始条件的响应 上述方程已经解耦，可以利用单自由度的 概念和方法计算标准坐标下的响应。 稳态响应为 6.6 无阻尼系统的强迫振动 第6章 多自由度系统的振动 51 （i1，2，n） 再变换到广义坐标x下 上述过程也可以在主坐标下进行。 则标准坐标下的总响应为 6.6 无阻尼系统的强迫振动 第6章 多自由度系统的振动 52 无阻尼系统响应分析步骤: （1）建立振动方程，确定质量矩阵 M和刚度矩阵K; （2）求固有频率和振型; （3）确定标准振型矩阵; （4）对初始条件标准化; （5）对激励标准化; （6）计算标准坐标响应; （7）计算广义坐标响应。 6.6 无阻尼系统的强迫振动 第6章 多自由度系统的振动 53 【T6-38】弹簧支撑的两个刚性均质杆，质量均 为m，在B点用铰链连接, l3 m，若C点下面弹簧 支撑点沿y轴方向按谐波函数yg=dsinwt运动。选B 点的铅垂位移y和两杆绕B点的转角为广义坐标， 求系统的稳态响应。 6.6 无阻尼系统的强迫振动 第6章 多自由度系统的振动 54 解： （1）用拉格朗日方程 建立振动方程 6.6 无阻尼系统的强迫振动 第6章 多自由度系统的振动 55 6.6 无阻尼系统的强迫振动 第6章 多自由度系统的振动 56 代入拉格朗日方程得 6.6 无阻尼系统的强迫振动 第6章 多自由度系统的振动 57 则 6.6 无阻尼系统的强迫振动 第6章 多自由度系统的振动 58 （2）求固有频率和振型 求得 6.6 无阻尼系统的强迫振动 第6章 多自由度系统的振动 59 w1代入 求得 同理 6.6 无阻尼系统的强迫振动 第6章 多自由度系统的振动 60 （3）求标准振型矩阵 6.6 无阻尼系统的强迫振动 第6章 多自由度系统的振动 61 同理 6.6 无阻尼系统的强迫振动 第6章 多自由度系统的振动 62 （4）对激励标准化 6.6 无阻尼系统的强迫振动 第6章 多自由度系统的振动 63 （5）标准坐标下的响应 利用单自由度系统正弦激励下的响应得 6.6 无阻尼系统的强迫振动 第6章 多自由度系统的振动 64 同理 6.6 无阻尼系统的强迫振动 第6章 多自由度系统的振动 65 （6）广义坐标下的响应 作业：T6-33 这里 展开代入数据即可 6.6 无阻尼系统的强迫振动 第6章 多自由度系统的振动 66 6.7 有黏滞阻尼系统的强迫振动 6.7 有黏滞阻尼系统的强迫振动 n自由度系统的振动微分方程为 其中的质量矩阵M、刚度矩阵K和阻尼 矩阵C通常为实对称矩阵。 阻尼矩阵通过上节的坐标变换一般不能化 为对角阵，即方程不能解耦。因此多自由度 有阻尼振动系统的求解非常困难。 第6章 多自由度系统的振动 67 如果阻尼矩阵C是质量矩阵M和刚度 矩阵K的线性组合，则称之为比例阻尼。 其中a和b为常数。则对阻尼矩阵进行正 则变换后得 6.7 有黏滞阻尼系统的强迫振动 第6章 多自由度系统的振动 68 这样，对振动方程进行正则变换后得到 （i1，2，n） 由于方程已经解耦，则可直接利用单自由度 的理论求解正则坐标下的稳态响应为 （i1，2，n） 6.7 有黏滞阻尼系统的强迫振动 第6章 多自由度系统的振动 69 其中 广义坐标下的稳态响应为 6.7 有黏滞阻尼系统的强迫振动 第6章 多自由度系统的振动 70 6.8 固有频率相等或为零的情况 6.8 固有频率相等或为零的情况 振动系统的广义特征值问题为： 固有频率相等的情况(P163-165) 这里HK-w2M为特征矩阵。由于 结构的对称性或其它原因，可能具有重特 征值，也就是有相同的固有频率。 第6章 多自由度系统的振动 71 6.8 固有频率相等或为零的情况 设固有频率有r个重根，则特征方程的秩变 为nr，原方程只有nr个方程独立。划去r个 不独立方程，并把其余nr个独立方程写为 Ha为划去r个不独立方程并调整列位置后 的剩余nr个独立方程组成的 (nr)(nr)阶 方阵，Hb 为(nr)r阶矩阵，Xa为nr阶列 阵，Xb为r阶列阵。由此得到 第6章 多自由度系统的振动 72 6.8 固有频率相等或为零的情况 一般取 其中只有第i个元素为1，其余均为零。 记 将其正规化，即得到第i 阶重特征值的振型。 正规化的方法步骤为： （1）1阶重特征值振型： 第6章 多自由度系统的振动 73 6.8 固有频率相等或为零的情况 （2）2阶重特征值振型： （3）i 阶重特征值振型： (j1,2,i1) 第6章 多自由度系统的振动 74 6.8 固有频率相等或为零的情况 【例】 设系统的运动方程为 求系统自由振动的解。 解：利用前面的方法可求得固有频率为 第6章 多自由度系统的振动 75 6.8固有频率相等或为零的情况 则有两个重根，第1、2固有频率的特征值问题为 由前两个方程显然可看出一个振型（设为第 一振型）为 第6章 多自由度系统的振动 76 6.8 固有频率相等或为零的情况 为求第2振型，去掉第2、3个方程后 列位置 1 2 3 4 调整H中列的位置使Ha1存在。设 原列位置 1 4 2 3 第6章 多自由度系统的振动 77 6.8 固有频率相等或为零的情况 则 则 设 第6章 多自由度系统的振动 78 6.8 固有频率相等或为零的情况 则 所以 行位置 1 4 2 3 所以 第6章 多自由度系统的振动 79 6.8 固有频率相等或为零的情况 对第3、4固有频率，特征值问题为 为求第4振型，去掉第2、4个方程并调整列位置 第6章 多自由度系统的振动 80 6.8固有频