面面垂直的判定和性质定理.ppt

平面与平面的垂直关系 一、平面与平面垂直 1平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直角（即成直 二面角），就说这两个平面互相垂直 思考：如果你是一个质检员，你怎样去检测、 判断建筑中的一面墙和地面是否垂直呢？ 平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 ，那么这两个平面互相垂直. a 简记：线面垂直，则面面垂直. 面面垂直线面垂直线线垂直 符号语言: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直 已知：AB，AB （图1） 求证：。 AB，CD ， 两个平面垂直的判定定理 证明：设=CD， ABCD 在平面内过点B作直线BECD，则 ABE是二面角-CD-的平面角， 而ABBE，故-CD-是直二面角。 探究1： A C B D A1 C1 B1 D1 面面垂直线面垂直线线垂直 如图为正方体,请问哪些平面与面 垂直? 请问哪些平面是互相垂直的,为什么? A B C D 探究2： 3.两个平面垂直应用举例 例1: AB是O的直径，PA垂直于O所 在的平面，点C是O上不同于A,B的任 一点，求证：平面PAC平面PBC O 4.在解题时注意应用. 3.证明面面垂直要从寻找面的垂线入手; 2.理解面面垂直的判定都要依赖面面垂直的定义; 1.定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的; 小结： 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质 2.线面垂直判定定理： 如果一条直线和一个平面内 的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 。 1.线面垂直定义： 如果一条直线和一个平面内的任何一 条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。 复习回顾： 3.平面与平面垂直的定义:如果两个平面所成的二面角是 直角（即成直二面角），就说这两个平面互相垂直 4.两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个 平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 直线与平面垂直的性质 在平面内，如果两条直线同时垂直于另一条直 线，那么这两条直线平行。在空间中有相同或者类 似的结论吗？ 观察下面的长方体，找出所有标记的线面之间 的位置关系。 线面垂直的性质定理1： 垂直于同一个平面的两条直线平行。 线面垂直的性质定理2： 垂直于同一条直线的两个平面平行。 如果两个平面垂直，那么一个平 面内的直线是否一定垂直于另一个平 面? 思考1 ： 思考2：黑板所在平面与地面所在平面垂直，你 能否在黑板上画一条直线与地面垂直? 思考3：如果两个平面互相垂直，那么在第一个 平面内垂直于交线的直线，是否垂直于第二个平 面呢？ 分析 在内作BECD。要证AB，只需 证AB垂直于内的两条相交直线就行 。 思考2：如图2，AB ，ABCD ，=CD，求证：AB。 两个平面垂直的性质定理1 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直 线与另一个平面垂直 而我们已经有ABCD，只需寻求另一条就够了。 而我们还有这个条件没使用，由定义， 则ABE为直角，即有ABBE，也就有 AB， 问题也就得到解决 思考3： 设平面 平面，点P在平面内，过 点P作平面的垂线a，直线a与平面具有 什么位置关系？ c P 已知： ，P ，Pa , a . 求证：a 证明：设 = c，过点P在平面内, 作直线b c，根据上面的定理有b. 因为经过一点只能有一条直线与平面垂直， 所以直线a应与直线b重合.所以a . a b c P b a 两个平面垂直的性质定理2 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面 内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平 面内 两个平面垂直的性质定理1 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的 直线与另一个平面垂直 1给出下列四个命题： 垂直于同一个平面的两个平面平行； 垂直于同一条直线的两个平面平行； 垂直于同一个平面的两条直线平行； 垂直于同一条直线的两条直线平行 其中正确的命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 B 课堂练习： 2给出下列四个命题：（其中a，b表示直线 ，表示平面）。 若ab，a，则b； 若a，则a； 若，则； 若，a，则a。 其中不正确的命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 D 3已知两个平面垂直，下列命题 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内 的任意一条直线； 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平 面的无数条直线； 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个 平面； 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则 此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 4若两个平面互相垂直，在第一个平 面内的一条直线a垂直于第二个平面内 的一条直线b，那么（ ） （A）直线a垂直于第二个平面; （B）直线b垂直于第一个平面; （C）直线a不一定垂直第二个平面; （D）过a的平面必垂直于过b的平面. 解：在内作垂直于 与交线的直线b， 即直线a与平面平行。 证明：如果两个相交平面都垂直于第三个 平面，则它们的交线也垂直于该平面。 小结： 1.线面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行。 垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.两个平面垂直的性质定理1 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与 另一个平面垂直 3.两个平面垂直的性质定理2 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点 垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内 练习：如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都 等于a，D、F分别是AC1、BB1的中点， （1）求证：DF/面A1B1C1 （2）求证：DFAC1,DFBB1 （3）求二面角F-AC1-C的大小。 例1：如图，PA矩形ABCD所在平面，M、N是边 AB 、PC的中点，PA=AD， 求证：（1）MN/面PAD （2）面MND 面PDC P DC BA N M B F E C P A 例2：如图，已知AB是圆O的直径，C是圆周上 不同于A、B的点，PA垂直于圆O所在的平面， AEPB于E， AFPF于F。 求证：面AEF面PAB 例4：已知正方体的棱长是a,求点C到面A1BD的 距离及直线A1