2013年高考数学_热点专题专练_专题五_数列、不等式、推理与证明测试题_理.doc

专题五数列、不等式、推理与证明测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知无穷数列an是各项均为正数的等差数列，则有()A. D.解析a4a8(a13d)(a17d)a10a1d21d2，a(a15d)2a10a1d25d2，故.答案B2已知数列an的前n项和Snn29n，第k项满足5ak8，则k()A9 B8C7 D6解析由题意知，数列an为等差数列，anSnSn12n10，由52k10f(a)，则实数a的取值范围是()A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)解析由题知f(x)在R上是增函数，可得2a2a，解得2a0时，S31q12 3，当公比qq D不确定解析q p，故选B.答案B10设Sn123n，nN*，则函数f(n)的最大值为()A. B.C. D.解析由Sn得f(n)，当且仅当n，即n8时取等号，即f(n)maxf(8).答案D11(2012广东)已知变量x，y满足约束条件，则z3xy的最大值为()A12 B11C3 D1解析先画出可行域如图所示，再将z3xy变形为截距式方程y3xz，把l0：y3x平移到经过点A(3,2)时，截距z有最大值，zmax33211.答案B12(2012浙江)设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是()A若d0，则数列Sn有最大项B若数列Sn有最大项，则d0D若对任意nN*，均有Sn0，则数列Sn是递增数列解析由于Snna1dn2n，根据二次函数的图象与性质知当d0，但对任意的nN*，Sn0不成立，即选项C错误；反之，选项D是正确的答案C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上13在公差为d(d0)的等差数列an中，若Sn是an的前n项和，则数列S20S10，S30S20，S40S30也成等差数列，且公差为100d.类比上述结论，在公比为q(q1)的等比数列bn中，若Tn是数列bn的前n项之积，则有_答案，也成等比数列，且公比为q10014(2012福建)数列an的通项公式anncos1，前n项和为Sn，则S2 012_.解析anncos1，当n为奇数时an1，当n为偶数2,6,10,14，时，ann1；当n为偶数4,8,12,16，时，ann1，数列an的前4项和为：1(1)156；第5至第8项和为：1(5)196；由此可知anan1an2an31(n11)1n316(n3是4的倍数)，即数列an的相邻四项之和均为6，故S2 012S450350363 018.答案3 01815已知数列an为等差数列，则有等式a12a2a30，a13a23a3a40，a14a26a34a4a50，(1)若数列an为等比数列，通过类比，则有等式_(2)通过归纳，试写出等差数列an的前n1项a1，a2，an，an1之间的关系为_解析因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算，后者是乘法运算，所以类比规律是由第一级运算转化到高一级运算，从而解出第(1)问；通过观察发现，已知等式的系数与二项式系数相同，解出第(2)问答案(1)a1aa31，a1aaa1，a1aaaa51(2)Ca1Ca2Ca3(1)nCan1016(2012新课标)数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为_解析当n2k1，kN*时，a2ka2k12(2k1)1；当n2k，kN*时，a2k1a2k2(2k)1；于是a2k1a2k12；a2ka2k28k8；前一个式子中k1,3,5，29，后一个式子中k2,4,6，30，得a3a12，a5a32，a29a272；a4a2828，a8a6848，a60a588308，S601528(2430)8151 830.答案1 830三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)已知函数f(x)满足axf(x)bf(x)(ab0)，f(1)2且f(x2)f(2x)对定义域中任意x都成立(1)求函数f(x)的解析式；(2)正项数列an的前n项和为Sn，满足Sn2，求证：数列an是等差数列解(1)由axf(x)bf(x)(ab0)，得f(x)(ax1)b，若ax10，则b0，不合题意，故ax10，f(x).由f(1)2，得2a2b，由f(x2)f(2x)对定义域中任意x都成立，得，由此解得a，把代入，可得b1，f(x)(x2)(2)证明：f(an)，Sn2，Sn(an1)2，a1(a11)2，a11；当n2时，Sn1(an11)2，anSnSn1(aa2an2an1)，(anan1)(anan12)0，an0，anan120，即anan12，数列an是等差数列18(本小题满分12分)(2012广东)设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差数列(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.解(1)当n1时，2a1a241a23，当n2时，2(a1a2)a381a37，又a1，a25，a3成等差数列，有a1a32(a25)，由解得a11.(2)2Snan12n11，当n2时，有2Sn1an2n1，两式相减是an13an2n，则1，即2，又23，知是以首项为3，公比为的等比数列，23n1，即an3n2n，n1时也合适此式，an的通项公式是an3n2n.(3)由(2)得，11.19(本小题满分12分)(2012安徽)数列xn满足x10，xn1xxnc(nN*)(1)证明：xn是递减数列的充分必要条件是c0；(2)求c的取值范围，使xn是递增数列解(1)先证充分性，若c0，由于xn1xxncxncxn，故xn是递减数列；再证必要性，若xn是递减数列，则由x2x1，可得c0.(2)(i)假设xn是递增数列，由x10，得x2c，x3c22c.由x1x2x3，得0c1.由xnxn1xxnc知，对任意n1都有xn0即xn1.由式和xn0还可得，对任意n1都有xn1(1)(xn)反复运用式，得xn(1)n1(x1)(1)n1.xn1和xn(1)n1两式相加，知21(1)n1对任意n1成立根据指数函数y(1)x的性质，得210，c，故0c.(ii)若00.即证xn对任意n1成立下面用数学归纳法证明当0c时，xn对任意n1成立(1)当n1时，x10，结论成立(2)假设当nk(kN*)时结论成立，即：xk，因为函数f(x)x2xc在区间内单调递增，所以xk1f(xk)f()，这就是说当nk1时，结论也成立故xnxn，即xn是递增数列由(i)(ii)知，使得数列xn单调递增的c的范围是.20(本小题满分12分)某商店投入81万元经销某种北京奥运会特许纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n天的利润an(单位：万元，nN*)记第n天的利润率bn，例如b3.(1)求b1，b2的值；(2)求第n天的利润率bn；(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率解(1)当n1时，b1；当n2时，b2.(2)当1n20时，a1a2a3an1an1.bn.当21n60时，bn，第n天的利润率bn(3)当1n20时，bn是递减数列，此时bn的最大值为b1；当21n60时，bn(当且仅当n，即n40时，“”成立)又，当n40时，(bn)max.该商店经销此纪念品期间，第40天的利润率最大，且该天的利润率为.21(本小题满分12分)(2012山东)在等差数列an中，a3a4a584，a973.(1)求数列an的通项公式；(2)对任意mN*，将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm.求数列bm的前m项和Sm.解(1)因为an是一个等差数列，所以a3a4a53a484，a428.设数列an的公差为d，则5da9a4732845，故d9.由a4a13d得28a139，即a11.所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)(2)对mN*，若9man92m，