切线的判定与性质.ppt

知识回顾 相离 相切 相交dr l d r l dr l d r 没有公共点 唯一的公共点 两个公共点 位置关系交点个数数量关系 直线和圆的位置关系有几种？ 用数量关系如何来判断？ 知识回顾 相切 d=r l d r 唯一的公共点 判断一条直线是圆的切判断一条直线是圆的切 线，你现在会有多少种方线，你现在会有多少种方 法法? ? 1、 和圆有且只 有一个公共点的直线是 圆的切线。 2、 圆心到 直线的距离等于半径的 直线是圆的切线。 、切线和圆只有一个 公共点。 、圆心到切线的距离 等于半径。 切线具有什么性质？ 定义法： 数量法（d=r ）： 问题:如图，在O中，经过半径OA的 外端点A作直线l OA ，则直线l与O 的位置关系怎样？为什么？ l A O d r 条件一：直线l 经过半径OA 的外端点A 条件二：直线l 垂直于半径OA d = r相切 切线的判定定理切线的判定定理 经过半径的外端并且经过半径的外端并且 垂直于这条半径的直线是圆的切线。垂直于这条半径的直线是圆的切线。 OO l l A A OAOAl l l l是是 OO的切线。的切线。 几何符号表达：几何符号表达： 切线的判定定理切线的判定定理 经过半径的外端并且经过半径的外端并且 垂直于这条半径的直线是圆的切线。垂直于这条半径的直线是圆的切线。 OAOA是半径，是半径，于于A A 判 断 1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ） OO r r l l A A OO r r l l A A OO r r l l A A 利用判定定理时，要注意直线须具备以利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件下两个条件, ,缺一不可缺一不可: : (1)(1)直线经过半径的外端直线经过半径的外端; ; (2)(2)直线与这半径垂直。直线与这半径垂直。 OO r r A A 判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法? ? 有以下三种方法有以下三种方法: : 切线的判定方法切线的判定方法 1、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线 是圆的切线。 2、数量法（d=r）：圆心到直线的距离等于 半径的直线是圆的切线。 3、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半 径的直线是圆的切线。 下雨天快速转动雨伞时飞出的水滴，以及在砂轮上 打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出 1. 当你在下雨天快速转动雨伞时,水 滴顺着伞的什么方向飞出去的？ 2. 砂轮打磨零件时,溅出火星沿着砂 轮的什么方向飞出去的? 生活中的数学 改变切线判定定理的题设与结论 如果直线l是O的切线，切点为A, 那么半径OA与直线l是不是一定垂直 呢？ 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径。 O l A 直线l切 OO于点，于点， l l 几何符号表达：几何符号表达： 、圆的切线和圆只有一个公共点 。 、圆心到切线的距离等于半径。 、圆的切线垂直于过切点的半径。 如图，AB是O的直径，直线l1、 l2是O的切线，A、B是切点,直线l1 、l2有怎样的位置关系？ O A B l1 l2 l1l2 证明: l1是O切线，l2是O切线， l1OA，l2OB. l1 l2 . 小试牛刀： 例1 已知：直线AB经过O上的点C，并且OA=OB， CA=CB。 求证：直线AB是O的切线。 OO B B A A C C 分析：由于AB过O上的点C，所以连接OC，只 要证明ABOC即可。 证明：连接OC(如图)。 OAOB,CACB, OC是等腰三角形OAB底边AB上 的中线。 ABOC。 AB是O的切线。 例2 已知：已知：O O为为BACBAC平分线上一点，平分线上一点，ODABODAB于于D,D,以以O O为圆心，为圆心，ODOD为为 半径作半径作O O。 求证：求证：O O与与ACAC相切。相切。OO A A B B C C E E D D 证明：过O作OEAC于E。 AO平分BAC，ODAB, OEAC OEOD OD是O的半径 AC是O的切线。 小 结 例1与例2的证法有何不同? (1)如果已知直线与圆有公共点,则连接这点和 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为：有交点,连半径,证垂直。用判定定理证。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过 圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于 半径长。简记为：无交点,作垂直,证半径。用数量 法（d=r）证。 连接OC （交点C已给出） 过O作OEAC 于E（交点E未给出） OO B B A A C C OO A A B B C C D D E 1 1、如图，、如图，AOBAOB中，中，OAOAOBOB1010，AOBAOB120120，以，以O O为圆为圆 心，心，5 5为半径的为半径的O O与与OAOA、OBOB相交。相交。 求证：求证：ABAB是是O O的切线。的切线。 OO B B A A C C 2 2、如图、如图,ABC,ABC中，中，AB=ACAB=AC，以，以ABAB为直径的为直径的O O交边交边BCBC于于P P， PEACPEAC于于E E。 求证求证:PE:PE是是O O的切线。的切线。 OO A A B BC C E E P P 无交点,作垂直,证半径。 有交点,连半径,证垂直 练一练 1 1、如图，、如图，AOBAOB中，中，OAOAOBOB1010，AOBAOB120120，以，以O O为圆为圆 心，心，5 5为半径的为半径的O O与与OAOA、OBOB相交。相交。 求证：求证：ABAB是是O O的切线。的切线。 OO B B A A C C 无交点,作垂直,证半径。 练一练 证明：过O作OCAB于C OAOAOBOB, OCAB 。 在RtAOCAOC中中, , A 30,30, OA OA1010 OC=5。 又 OO的半径为的半径为5 5 PE为0的切线。 AOC= AOB 6060 。 证明：连接OP。 AB=AC,B=C。 OB=OP，B=OPB， OBP=C。 OPAC。 PEAC， PEOP。 PE为0的切线。 2 2、如图、如图,ABC,ABC中，中，AB=ACAB=AC，以，以ABAB为直径的为直径的O O交边交边BCBC于于 P P， PEACPEAC于于E E。 求证求证:PE:PE是是O O的切线。的切线。 OO A A B BC C E E P P 练一练 有交点,连半径,证垂直 如图CB是O的切线,C是切点,OB交O于D, B 30, OB =6cm,求BC C O B D 例例3 3 解：连接OC CB切O于C, OC BC。 在RtBOCBOC中中, ,B30,OB30,OB 6 6 OC=3。 BC= = 注：在已知圆的切线时，常 连接过切点的半径 如图，在直角梯形ABCD中，B=90，ADBC, C= 30 ，AD=1，AB=2. 试猜想在B