《数学难题分析》word版.doc

数学难题分析1. 过双曲线的左焦点，作圆：的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为(A)A. B. C. D. 2.已知定义域为的函数满足，当,单调递增，若 ，则的值)(B)A.恒大于0 B. 恒小于0 C.可能等于0 D.可正可负3.在中，AC=6，BC=7，O是的内心，若，其中，动点P的轨迹所覆盖的面积为（ A ）A. B. C. D.4.已知，且函数恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( C )A B C D5.定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数, 的“新驻点”分别为，则的大小关系为( D )A. B. C. D. 6.已知是奇函数，且，当时，则当时，=（ A ）A B CD7.以下正确命题的为 命题“存在，”的否定是：“不存在，”；函数的零点在区间内； 在极坐标系中，极点到直线的距离是函数的图象的切线的斜率的最大值是；线性回归直线恒过样本中心，且至少过一个样本点.8. 已知点与点在直线的两侧，给出下列说法： ； 当时,有最小值，无最大值；当且，时，的取值范围为.其中，所有正确说法的序号是 9.已知：圆过椭圆的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线与圆相切 ，与椭圆相交于A，B两点记 （1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围；（3）求的面积S的取值范围.解：（）由题意知2c=2,c=1 因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b=1.故a=所求椭圆方程为 （）因为直线l:y=kx+m与圆相切所以原点O到直线l的距离1,即：m 又由，（）设A（），B（），则 7分，由，故，ks5u即 （III），由，得： ，所以：10.已知直线，,直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等,椭圆的离心率. ()求椭圆的方程；() 过点(，)的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解： ()则由题设可知， 又 所以椭圆C的方程是. ()解法一：假设存在点T（u, v）. 若直线l的斜率存在，设其方程为，将它代入椭圆方程，并整理，得 设点A、B的坐标分别为，则 因为及所以 当且仅当恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T， 所以解得此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. 当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为也过点T（0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件. 解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是 若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是 由解得.由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）. 事实上点T（0，1）就是所求的点. 证明如下：当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为，过点T（0，1）； 当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得8分设点A、B的坐标为，则 因为， 所以，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件. 11.在平面直角坐标系中，已知点，为动点，且直线与直线的斜率之积为.（）求动点的轨迹的方程；（）设过点的直线与曲线相交于不同的两点，.若点在轴上，且 ，求点的纵坐标的取值范围.解：（）设动点的坐标为，依题意可知， 整理得. 所以动点的轨迹的方程为. （II）当直线的斜率不存在时，满足条件的点的纵坐标为. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 将代入并整理得， . . 设，则， . 设的中点为，则， 所以. 由题意可知 又直线的垂直平分线的方程为. 令解得 . 当时，因为，所以； 当时，因为，所以. 综上所述，点纵坐标的取值范围是. .12.已知函数，曲线在点（）处 ,切线方程是（）求的值；（）设若当时，恒有，求的取值范围.解：（1）.由于直线的斜是，且过点（），即（2）由（1）知：则，令， 当时，在时，即，在上是增函数，则，不满足题设.当时，且时，即，在上是增函数，则，不满足题设.当时，则，由得； 则，时，即，在上是增函数，则，不满足题设.当时，即，在上是减函数，则，满足题设. 综上所述，-13.已知直线与函数的图象相切于点，且与函数的图象也相切。（1）求直线的方程及的值；（2）若，求函数的最大值；（3）若恒成立，求的取值范围。解：（1）的图象在点（1，0）处的切线。 又因为直线的图象相切， （2）由（1）知 当于是，上单调递减。所以，当 （3）由（2）可知对任意恒成立且若恒成立，则的取值范围为且（12分）14. 已知（）已知对于给定区间，存在使得成立，求证：唯一；（）若，当时，比较和大小，并说明理由； （）设A、B、C是函数图象上三个不同的点， 求证：ABC是钝角三角形解：（）证明：假设存在 ， ，即 .，上的单调增函数（或者通过复合函数单调性说明的单调性）.矛盾，即是唯一的. （） 原因如下：(法一)设 则 .1+，.（法二）设，则由（）知单调增所以当即时，有所以时，单调减当即时，有所以时，单调增所以，所以（）证明：设，因为上的单调减函数10分为钝角. 故为钝角三角形15.已知函数是自然对数的底数，）（1）当时，求的单调区间；（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；（3）证明对一切恒成立解：（1）当a=-15时上为减函数，对于任意，都有，故有即 即 16.已知函数.（）求的单调区间；（）若，求证：函数只有一个零点，且；（）当时，记函数的零点为，若对任意且都有成立，求实数的最大值.（本题可参考数据：）（）解：的定义域为. 令，或. 当时，函数与随的变化情况如下表：00极小值极大值所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.当时，. 所以，函数的单调递减区间是.当时，函数与随的变化情况如下表：000极小值极大值所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.（）证明：当时，由（）知，的极小值为，极大值为.因为