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第十四章 几何光学 几何光学是光学的一个重要分支，它以 光的直线传播等实验规律为基础，用几何 方法研究光在透明介质中的传播及光学仪 器的成象等问题。 本章主要内容有：几何光学的基本规 律,费马原理,与成象有关的基本概念,近轴成 象理论,眼睛及常用光学仪器的放大本领。 1 几何光学的基本定律 光线光能传播方向的几何线 光束有一定几何关系的一些光线的集合 一. 光源和光线 1. 光源 光源任何发光物体：太阳、烛焰、钨丝白炽灯、日 光灯、高压水银荧光灯等 点光源可看成几何上的点，只有空间位置无体积的光源 2. 光线和光束 二.几何光学的基本定律 1. 光的直线传播定律：光在均匀介质中沿直线传播 (1) 光的反射定律：反射线位于入射面内，反射线和 入射线分居法线两侧，反射角等于入射角，即 2. 光的折射反射定律： i1 i2 分界面 法线 (2) 光的折射定律：折射线位于入射面内,折射线与入 射线分居法线两侧，入射角的正弦与折射角的正弦之 比为一与入射角无关的常数，即 *漫射：当界面粗糙时,各入射点处法线不平行,即使入 射光是平行的,反射光和折射光也向各方向分散开漫 反射或漫折射。 介绍 3.光的独立传播定律和光路可逆性原理 光在传播过程中与其他光束相遇时，各光束都 各自独立传播，不改变其传播方向。 光沿反方向传播时，必定沿原光路返回。即在 几何光学中，任何光路都是可逆的。 三、几何光学定律成立的条件 （1）必须是均匀介质，即同一介质的折射率处 处相等，折射率不是位置的函数。 （2）必须是各向同性介质，即光在介质中传播时 各个方向的折射率相等，折射率不是方向的函数。 （3）光强不能太强，否则巨大的光能量会使线性 叠加原理不再成立而出现非线性情况。 （4）光学元件的线度应比光的波长大得多，否 则不能把光束简化为光线。 2 费马原理 费马原理是一个描述光线传播行为的原理. 一.光程 在均匀介质中,光程为光在介质中通过的几何路程 l 与该介质的折射率 n 的乘积： 光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内,在真 空中所能传播的路程。 分区均匀介质: 连续介质: 二、费马原理 1.表述：光在空间两定点间传播时，实际光程为一特 定的极值。 2.表达式： n B A ds 3.说明： 意义：费马原理是几何光学的基本原理，用以描 绘光在空间两定点间的传播规律。 极值的含义：极小值，极大值，恒定值。一般情 况下，实际光程大多取极小值。 三. 由费马原理导出几何光学定律 在均匀介质中折射率为常数 1.直线传播定律： 所以光在均匀介质中沿直线传播 而由公理：两点间直线距离最短 的极小值为直线AB A B 2.光的反射定律 P是P点关于 面的对称点。 P，Q，O三 点确定平面。 直线QP与反射 面交于O点。 则易知当i=i时，QO+OP为光程最短的路径。 Q点发出的光经 反射面到达P点 2.折射定律： i2 n2 B CA C C B A n1 O O P M i1 X Y Z 点发出的光线入射到两种介质的平面分界面上， 折射后到达点。 折射线在入射线和法线决定的平面内 如图：只需证明折射点C点在交线OO上即可. 反证法：设有另一点C位 于OO线外，则在OO上 必可找到其垂足C， 即光程ACB ACB与费马原理矛盾! 所以折射点在交线上，折射线在入射线和法线所决 定的平面内 折射线、入射线分居法线两侧 A、B、C点坐标如图，沿此方向入射必有 ACB光程为： i2 n2 B A C B A n1 O O P M i1 X Y Z i2 n2 B A C B A n1 O O P M i1 X Y Z 光程取极值，光程对x求一介导数,令其为0 由三角形几何关系可得 抛物面焦点发出的光，反射后变为平行光 ，汇聚在无穷远处，光程为极大值。 椭球面内两焦点间光的路径，光程为恒定值 在椭球面上一点作相切的平面和球面，则经平面反 射的光线中，实际光线光程最小，经球面反射的光线 中，实际光线光程最大。 4 物像之间的等光程性 物点Q与像点Q之间的光程总是平稳的， 即不管光线经何路径，凡是由Q通过同样的 光学系统到达Q的光线，都是等光程的。 3.单心光束 实像和虚像 一.单心光束、实像、虚像 1.发光点：只有几何位置而没有大小的发射光束的 光源。 若光线实际发自于某点，则称该点为实发光点； 若某点为诸光线反向延长线的交点，则该点称为 虚发光点。 2.单心光束：只有一个交点的光束，称同心光束。 此交点也称为光束的顶点。 发散单心光束会聚单心光束 3.实像、虚像 当顶点为光束的发出点时，该顶点称为光源、物 点。 当单心光束经光学系统折射或反射后，仍能找 到一个顶点，称光束保持了其单心性。该顶点称为 象点。 实象：有实际光线会聚的象点。 虚象：无实际光线会聚的象点。 （光束反向延长线的交点）。 P P P P 实 像 虚 像 光学系统 光学系统 光学系统 实物成虚实象 光学系统 物空间 像空间 实物成实象 光学系统 虚物成实象 二、物空间与像空间 4 光在平面介面上的反射和折射 一般情况下，光在介面上反射和折射后，其单心性不再保持。但只要满 足适当的条件，可以近似地得到保持。接下来的两节，主要研究在不同介面 反射、折射时，光束单心性的保持情况。 一、光在平面上的反射 D M M P P C BA 点光源P发出单心光束， 经平面镜反射后，形成一束发 散光束，其反向延长线交于一 点P，且与P点对称。 平面镜是一个不破坏光束 单心性、理想成像的完善的光 学系统。并且也是唯一的一个 。 二、光在平面介面上的折射 1.光束单心性的破坏 x B1 B2n2 n1 O y P2 P1 P P i1 i2 i1+i1 i2i2 A1 A2 z 介质n1中的发光点P发出单心光束经两介面XOZ折 射后进入介质n2，现取其中一微元光束，在XOY平面 内，其折射光束的反向延长线交于P点，并与OY轴交 于P1、P2两点。 折射后，光束的单心 性已被破坏! x B1 B2n2 n1 O y P2 P1 P P i1 i2 i1+i1 i2i2 A1 A2 z 2.象似深度 y n n yyyx = 1 2 21 0 即象似深度： P1、P2和P三点重合，光束保持单心性，P的位置 称为象似深度。 当 时 三.全反射 光学纤维 1.全反射： x A3 n2 n1 O y P i1 i2 ic A1A2 全折射的条件： 只有反射而无折射的 现象称为全反射。 四.棱镜 E D C B 1.偏向角、最小偏向角： 棱镜是一种由多个平面界面组合而成的光学元件。 光通过棱镜时，产生两个或两个以上界面的连续折射 ，传播方向发生偏折。最常用的棱镜是三棱镜。 三棱镜两折射面的夹角称三棱镜顶角A。 A n2 n1 出射光与入射光之间的夹角称棱镜的偏向角。 E D C B A n2 n1 此时，入射角 最小偏向角： 可以证明：当光路对称 + 2 sin 2 sin sin sin 0 2 1 2 A A i i n= :, 1n1=则由折射定律有即 若此时三棱镜处于空气中 达最小值即： 分光：当用白光入射时， 由于折射率的不同，出射 光将展开成彩带即光谱。 改变光路：如右图示 450 450 2.应用 5 光在单球面上的近轴成象 一.基本概念和符号规则 光轴：若光学系统由球面组成，各球心的连线在 一直线上，则称为共轴球面系统，这条直线为该光学 系统的光轴。 n n rd h QODCQ P-P M 光轴顶点 （1）线段：光轴方向上，以顶点为起点，沿光线 进行方向为正，反之为负；垂直方向上，主光轴上方 为正，反之为负。 （2）球面的曲率半径：球心在球面顶点的右方为 正，反之为负。(自左向右为正方向） 符号规则： n n rd h QODCQ P-P M （3）物距：自参考点（球面顶点、薄透镜的光心）到 物点，沿光轴方向为正，反之为负。 （4）象距：自参考点（球面顶点、薄透镜的光心） 到象点，沿光轴方向为正，反之为负。 （5）物高和象高：物高和象高垂直于光轴，向上为 正，反之为负。 （6）角度：以光轴或界面法线为始边，旋转到该光 线，旋转方向为顺时针，角度为正，反之为负。 y Q 二、球面反射对单心性的破坏 P A CO P -s -r -s -u i -i -u 从主轴上P点发出单心 光束，其中一条光线 在球面上A点反射，反 射光与主轴交于P点 。即P为P的像。 ()()()() ()()()()j j cos2 cos2 2 2 22 rsrrsrl srrsrrl -+-= -+-+-= 在 PAC和 PAC中 由余弦定理有： P A CO P -s -r -s -u i -i -u 对给定的物点，不同的入射点，对应着不同 的入射线和反射线，对应着不同的 。 ()()()() ()()()()j j cos2 cos2 2 2 22 rsrrsrn srrsrrn nlnl PAP -+-+ -+-+-= +=D 光程： 对一定的球面和发光点P（S一定），不同的入射点 对应有不同的S。即：同一个物点所发出的不同光线 经球面反射后不再交于一点。 由P点所发出的单心光束经球面反射后，单心性被破坏。 三、近轴光线下球面反射的物像公式 1.近轴光线条件 即：对一定的反 射球面，和 一一对应，而 与入射点无关。 由P点所发出的单心光 束，经球面反射后将交于一 点P，光束的单心性得以保 持。一个物点将有一个确定 像点与之对应。 光学上称： 很小的区域为近轴（或傍轴）区域，此 区域内的光线为近轴光线。 近轴条件下球面反射不破坏光束的单心性。 2.物像公式 有 当 A COP -s -r -s F 焦点：沿主轴方向的平行光束经球面反射后将会聚 于主轴上一点，该点称为反射球面的焦点(F)。 A COP -s -r -s F 焦距：焦点到球面顶点的距离 （ ）。 说明： 1、它是球面反射成像的基本公式，只在近轴条件 下成立； 2、式中各量必须严格遵从符号法则； 3、对凸球面反射同样适用； 4、当光线从右至左时同样适用。 球面反射的物象公式 四.球面折射对光束单心性的破坏 P n -u -i1 A -i2 n u C P O r -s s 设nn 从主轴上P点发出单心光束，其中一条光线在球面上 A点折射，折射光与主轴交于P点。即P为P的像。 光程： 对给定的物点，不同的入射点，对应着不同 的入射线和折射线，对应着不同的 。 P n -u -i1 A -i2 n u C P O r -s s 对一定的球面和发光点P（S一定），不同的入射 点对应有不同的S。即：同一个物点所发出的不同 光线经球面折射后不再交于一点。 由P点所发出的单心光束经球面折射后，单心 性被破坏 四.近轴光线下球面折射的物像公式 1.近轴光线条件 当很小时 2.讨论： 当介质和球面一定时（n,n,r 一定），S与S一一 对应，即：在近轴光线条件下光束单心性得到 保持。 当介质和球面一定时（n,n,r 一定）， 光焦度：表征球面光学性质单位 屈光度(D) 计算时r 取米为单位 焦点、焦距 A、像方焦点 F、 像方焦距 F f n n O -s s 当 B、物方焦点F、物方焦距 n n O -s s F -f C、 当时 “”号表示 物、像方焦点一定位于球面两侧。 永远异号， 例1 一个折射率为1.6的玻璃哑铃，长20cm，两端 的曲率半径为 2cm。若在离哑铃左端5cm处的 轴上有一物点,试求像的位置和性质。 O2 s1 n n -s1 n O1 -s2 -s2 P1 P2 P 解：两次折射成像问题 1、P为物对球面O1折射 成像P1 2、P1为物对球面O2折射成像 6 薄透镜 一.透镜 1、定义：