材料力学2.3卡氏第二定理.pptVIP

卡氏定理 卡氏定理(Castiglianos Theorem),是意大利工 程师卡斯蒂利亚诺(A.Castigliano )于1873年提出 的,故得其名. 卡氏第一定理 卡氏第二定理 2 1 3 设弹性结构在支座的约束下无设弹性结构在支座的约束下无 任何刚性位移任何刚性位移. . 作用有外力作用有外力: : F F 1 1 , ,F F2 2 , , , ,F F i i , , 相应的位移为：相应的位移为： 1 1 , , 2 2 , , , , i i , , F1 F2F3 结构的变形能结构的变形能 卡氏定理的证明 只给只给 F F i i 一个增量一个增量 F Fi i . . 引起所有力的作用点沿力方向的位移引起所有力的作用点沿力方向的位移 增量为增量为 2 1 3 F1 F2F3 在作用在作用 F Fi i 的过程中的过程中, , F Fi i 完成完成 的功为的功为 原有的所有力完成的功为原有的所有力完成的功为 结构应变能的增量为结构应变能的增量为 如果把原来的力看作第一组力如果把原来的力看作第一组力, ,而把而把 F Fi i 看作第二组力看作第二组力. . 根椐互等定理根椐互等定理 略去高阶微量略去高阶微量 或者或者 当当 F Fi i 趋于零趋于零时时, ,上式为上式为 这就是卡氏第二定理（这就是卡氏第二定理（CastiglianosCastiglianos Second Theorem ) Second Theorem )（卡卡 氏定理）氏定理）（CastiglianosCastiglianos Theorem Theorem） （1 1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体）卡氏第二定理只适用于线性弹性体( Applying only to ( Applying only to linearly elastic bodieslinearly elastic bodies） 说明说明 (Directions)(Directions)： （2 2）F F i i 为广义力为广义力（generalized forcegeneralized force） i i 为相应的位移（为相应的位移（ displacement corresponding to force displacement corresponding to force F F i i ) ) 一个力一个力一个力偶一个力偶一对力一对力一对力偶一对力偶 一个一个线位移线位移一个一个角位移角位移相对线位移 相对线位移相对角位移相对角位移 （3 3）卡氏第二定理的应用）卡氏第二定理的应用 ( Application of ( Application of castiglianoscastiglianos second second theorem )theorem ) （a a） 轴向拉轴向拉, ,压（压（Axial tension and compressionAxial tension and compression） （b b） 扭转（扭转（TorsionTorsion） （c c） 弯曲弯曲 （BendingBending） （4 4） 平面桁架平面桁架 (Plane truss)(Plane truss) （5 5） 组合变形组合变形(Combined deformation)(Combined deformation) 例 2.6 已知 EI, 求 C 端挠 度及 A 截面的转角 解： 根据卡氏定理,有 ABAB段段 BCBC段段 例2.7 图示刚架EI为常 量，B截面受m作 用。求C截面转 角qC及D点的水 平位移x。轴力 及剪力不计。 aa 2a A B C D m aa 2a A B C D m m2C C点施以附加力 点施以附加力 偶矩偶矩mm 2 2 , ,支反力为支反力为 R R AyAy= = m+mm+m 2 2 2a2a R R D D = = m+mm+m 2 2 2a2a R R AyAy R RD D x3x2 x1 A B C D m m2 R R AyAy R RD D 求求AB,BC,CDAB,BC,CD各段的弯各段的弯 矩方程矩方程, ,并对并对mm 2 2 求偏导求偏导, , 最后由卡氏定理求得最后由卡氏定理求得C C 截面的转角截面的转角q q C C 。 q qC C = = ( (m+mm+m 2 2 ) ) 2a2a 3EI3EI R R AyAy= = m+mm+m 2 2 2a2a R R D D = = m+mm+m 2 2 2a2a 实际上并无实际上并无mm 2 2 ，所以令所以令mm 2 2 =0 =0得得 q qC C = = 2am2am 3EI3EI 通常在积分前即令通常在积分前即令mm 2 2 =0 =0，可使积分简单可使积分简单 x3x2 x1 A B C D m R R AyAy R RD D Pa 为求为求D D点水平位点水平位 移移 x x , , 在在D D点加水平点加水平 力力P P a a , ,求求AB,BC,CDAB,BC,CD各各 段的弯矩方程段的弯矩方程, ,并对并对 P Pa a 求偏导求偏导, ,最后由卡最后由卡 氏定理求得氏定理求得D D点水平点水平 位移位移 x x 。 x x = = 17ma17ma 2 2 6EI6EI R R AxAx 例2.8 EI=常量,求B点水平和 垂直位移 P P f f A B 先求垂直位移先求垂直位移 y y MM= =PRPRcoscosf f = =R Rcoscosf f MM P P y y = = S S d ds s = = MM MM EIEI P P PRPR 3 3p p 4EI4EI P P f f A B 再在再在B B点施加水平力点施加水平力P P a a P Pa a MM= =PrPrcoscosf+f+P P a a R R(1-sin(1-sinf f) ) = =R R(1- (1- sinsinf f) ) MM P P a a x x= = S S d ds s PaPa=0=0 = = MM MM EIEI P P a a PRPR 3 3 2EI2EI 例 求A点位移d