直角坐标系中将三重积分化为三次积分.ppt

Yunnan University 2. 三重积分的计算 直角坐标系中将三重积分化为三次积分 一、化三重积分为三次积分 如图， Yunnan University 2. 三重积分的计算 得 是 x、y 的函数。 Yunnan University 2. 三重积分的计算 注意 Yunnan University 2. 三重积分的计算 三重积分化为三次积分的过程： 得到 事实上， Yunnan University 2. 三重积分的计算 得到 事实上， Yunnan University 2. 三重积分的计算 得到 事实上， Yunnan University 2. 三重积分的计算 得到 解 于是， Yunnan University 2. 三重积分的计算 于是， 得到 Yunnan University 2. 三重积分的计算 解 Yunnan University 2. 三重积分的计算 Yunnan University 2. 三重积分的计算 Yunnan University 2. 三重积分的计算 于是 ， 得到 解 Yunnan University 2. 三重积分的计算 Yunnan University 2. 三重积分的计算 解 Yunnan University 2. 三重积分的计算 原式 因此， Yunnan University 2. 三重积分的计算 二、 三重积分的变量替换 Yunnan University 2. 三重积分的计算 Yunnan University 2. 三重积分的计算 解: 作变换 Yunnan University 2. 三重积分的计算 而 所以 Yunnan University 2. 三重积分的计算 1、利用柱面坐标计算三重积分 规定： 简单地说，柱面坐标就是 xoy 面上的极坐标 + z 坐标 Yunnan University 2. 三重积分的计算 柱面坐标与直角坐标的 关系为 如图，三坐标面分别为 圆柱面； 半平面； 平 面 Yunnan University 2. 三重积分的计算 从而 Yunnan University 2. 三重积分的计算 所以 Yunnan University 2. 三重积分的计算 如图，柱面坐标系中的 体积元素为 于是 ， 再根据 V 中 z，r， 的关系，化为三次积分。 一般，先对 z 积分，再对 r ，最后对 积分。 Yunnan University 2. 三重积分的计算 例6 利用柱面坐标计算三重积分其中 解(1) 画 图 (2) 确定 z，r， 的上下限 将 向 xoy 面投影，得 或 过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线，得 Yunnan University 2. 三重积分的计算 即 过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线，得 于是， Yunnan University 2. 三重积分的计算 Yunnan University 2. 三重积分的计算 解求交线： 将 向 xoy 面投影，得 或 Yunnan University 2. 三重积分的计算 即 过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线，得 或 Yunnan University 2. 三重积分的计算 例8 计算三重积分其中 是由曲 解 将 向 xoy 面投影，得 或 过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线，得 Yunnan University 2. 三重积分的计算 即 或 过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线，得 Yunnan University 2. 三重积分的计算 即 Yunnan University 2. 三重积分的计算 规定： 2. 球面坐标 Yunnan University 2. 三重积分的计算 如图，三坐标面分别为 圆锥面； 球 面； 半平面 球面坐标与直角坐标的关系为 Yunnan University 2. 三重积分的计算 由 Yunnan University 2. 三重积分的计算 所以 Yunnan University 2. 三重积分的计算 球面坐标系中的体积元素为 如图， 再根据再 V 中 ， ， 的关系，化为三次积分。 一般，先对积分，再对 ，最后对 积分。 Yunnan University 2. 三重积分的计算 例9 用球面坐标计算其中 解画 图。 确定 r， ， 的上下限。 (1) 将 向 xoy 面投影，得 (2) 任取一过 z 轴作半平面，得 (3) 在半平面上，任取一过原点作 射线，得 Yunnan University 2. 三重积分的计算 (3) 在半平面上，任取一过原点作 射线，得 即 Yunnan University 2. 三重积分的计算 Yunnan University 2. 三重积分的计算 例10 计算其中 由曲面 和 围成 。 将 向 xoy 面投影，得 任取一 过 z 在半平面上，任取一 过原点作射线，得 解 轴作半平面，得 Yunnan University 2. 三重积分的计算 即 在半平面上，任取一 过原点作射线，得 Yunnan University 2. 三重积分的计算 解 由三重积分的性质，有 Yunnan University 2. 三重积分的计算 解 由三重积分的性质，有 Yunnan University 2. 三重积分的计算 例12. 计算三重积分 解 作广义球坐标变换： Yunnan University 2. 三重积分的计算 于是在上述广义球坐标变换之下，V 的原象为 Yunnan University 2. 三重积分的计算 Yunnan University 2. 三重积分的计算 Yunnan University 2. 三重积分的计算 Yunnan University 2. 三重积分的计算 Yunnan University 2. 三重积分的计算 Yunnan University 2. 三重积分的计算 E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z1C4F7JaMdPhSkWnZq$u*x-A2D5H8KbNfQiTlXo#s%v(y0B3E6I9LdOgRjVmYp!t&w-z1C4G7JaMePhSkWnZr$u*x+A2D5H8KcNfQiUlXo#s%v)y0B3F6I9LdOgSjVmYq!t&w-z1D4G7JbMePhTkWoZr$u(x+A2E5H9KcNfRiUlXp#s%v)y0C3F6IaLdOgSjVnYq!t*w-z1D4G8JbMeQhTkWoZr%u(x+B2E5H9KcOfRiUmXp#s&v)z0C3F7IaLdPgSkVnYq$t*w-A1D5G8JbNeQhTlWoZr%u(y+B2E6H9KcOfRjUmXp!s&v)z0C4F7IaMdPgSkVnZq$t*x-A1D5G8KbNeQiTlWo#r%v(y+B3E6H9LcOgRjUmYp!s&w)z0C4F7JaMdPhSkVnZq$u*x- 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