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第五章 梁弯曲时的位移 1 梁的位移挠度，转角的概念 2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 (重点) 3 叠加法计算梁的挠度和转角 4 梁的刚度条件 5 提高梁刚度的措施 1 梁的位移挠度、转角的概念 弯曲变形：梁在垂直于其轴线的荷载 作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变 形。 FA FB A B F q Me 梁轴线的变形 轴线是由横截面的形心组成 A B x y 平面简图:由于主要观察轴线变化，荷载可 略去，建立如图x-y坐标系。 轴线是由横截面的形心组成 A B x y 切线 法线 C1 C1 观察x截面形心变形前后的位置(小变形) x 变形后截面形心 截面x 的水平位移相对于w为高阶微量 h）的条件下， 略去x 方向的线位移，y 方向的线位移是截 面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为 挠度，用 w 表示，单位m、mm；角位移是 横截面变形前后的夹角，称为转角，用 表示，单位弧度。而变形后的轴线是一条 光滑连续平坦的曲线称为挠曲线（弹性曲 线） 。 注意：挠曲线是一光滑连续平坦曲线，满 足数学上的光滑性、连续性。即： 曲线没有间断； 曲线没有尖点。 A B x y A B x y 挠曲线在xy坐标系中的数学表达式 即挠曲线方程，可见确定梁的位移，关键 是确定挠曲线方程： w=f(x) 挠曲线方程 tan=w=f (x) 在小变形条件下， tan ，因此， (x) =f (x) 转角方程 ABx y 挠度w w C1 C1 x 截面的位移：挠度、转角 w=f (x) 挠曲线方程 转角方程(x)= f (x) x 梁挠度、转角的求解方法： 求解挠曲线积分法（基本方法） 叠加法 图乘法 2 梁的挠曲线近似微分方程 及其积分 (重点) （1）梁的挠曲线近似微分方程 （2）积分法求梁的挠度和转角 (熟练掌握) （1）梁的挠曲线近似微分方程 梁在荷载作用下轴线形状的变化称 为变形，一般用各段梁曲率的变化表示 。 纯弯变形 中性层 M M 1/= / l l （1）梁的挠曲线近似微分方程 梁纯弯曲时平面弯曲的曲率公式为： （4-4） 式（4-4）表明梁轴线上任一点的曲率与该 点处横截面上的弯矩成正比，而与该截面 的抗弯刚度成反比。 取梁中dx段，横 力弯曲变形关系 d dx O2O1 1/(x)=d / dx MM (x) 横力弯曲作用下忽略剪力对变形的影 响，梁纯弯曲的曲率公式 (4-4) 式变为： （a） 曲率与挠曲线方程之间存在下列关系： (b) 小挠度条件下，w 2 b , 所以A b, b2可略去， x1= 0.577 l ( wmax wC )/ wmax=2.65% 结论：只要挠曲线无拐点，无论什么荷载 都可
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