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工程光学习题解答 第十章第十章 光的电磁理论基础光的电磁理论基础 1. 一个平面电磁波可以表示为 14 0,2cos210 (),0 2 xyz z EEtE c ,求(1)该 电磁波的频率、 波长、 振幅和原点的初相位？ （） 拨的传播方向和电矢量的振动方向？ （）相应的磁场的表达式？ 解： （1）平面电磁波cos2() z EAt c 对应有 146 2,10,3 10 2 AHzm 。 （2）波传播方向沿z轴，电矢量振动方向为y轴。 （3）BE 与垂直，传播方向相同，0ByBz 814 6 10 210 () 2 z BxEyCEyt c . 在玻璃中传播的一个线偏振光可以表示 215 0,0,10 cos 10 () 0.65 yzx z EEEt c ， 试求（1）光的频率和波长； （2）玻璃的折射率。 解： （1） 215 cos2()10 cos10() 0.65 zz EAtt cc 1514 2105 10vHz 7 2 /2 /0.653.9 10 n kcm （2） 8 714 3 10 1.54 3.9 105 10n c c n v 3.在与一平行光束垂直的方向上插入一片透明薄片， 薄片的厚度0.01hmm,折射率 n=1.5, 若光波的波长为500nm,试计算透明薄片插入前后所引起的光程和相位的变化。 解：光程变化为 (1)0.005nhmm 相位变化为)(202 500 10005. 0 2 6 rad 4. 地球表面每平方米接收到来自太阳光的功率为 1.33kw,试计算投射到地球表面的太阳光 的电场强度的大小。假设太阳光发出波长为600nm的单色光。 解： 22 0 11 22 IAcA 1 3 2 0 2 ()10/ I Av m c 5. 写出平面波 8 100exp(234 ) 16 10 Eixyzt的传播方向上的单位矢量 0 k。 工程光学习题解答 解：exp ()EAi k rt xyz k rkxkykz 000000 0000 2,3,4 234 234 292929 xyz xyz kkk kkxkykzxyz kxyz 6. 一束线偏振光以 45 度角从空气入射到玻璃的界面， 线偏振光的电矢量垂直于入射面， 试 求反射系数和透射系数。设玻璃折射率为 1.5。 解：由折射定律 1 2 2 1122 1122 11 1122 sin 2 sin 3 7 cos 3 27 1.5 coscos 23 0.3034 coscos27 1.5 23 2 2 2cos 2 0.6966 coscos27 1.5 23 s s n nn r nn n t nn 7. 太阳光（自然光）以 60 度角入射到窗玻璃（n=1.5）上，试求太阳光的透射比。 解： 22 2221 2 21112 22 2221 22 111212 3sin sin 2 13 6 2 3 611 1.54 cos4sincos 334 0.823 1 cossin ()3613 () 2 2323 cos4sincos 0.998 cossin ()cos () () 0.91 2 s p sp n n ocs n n n n 8. 光波以入射角 1 从折射率为 1 n介质入射到折射率为 2 n的介质， 在两介质的表面上发生反 工程光学习题解答 射和折射 （折射角为 2 ， 见图 10-39） ， s 波和 p 波的振幅反射系数和投射系数分别为 s r、 p r 和 s t、 p t。若光波从 2 n介质入射到 1 n介质（见图 10-39b）中，入射角为 2 ，折射角为 1 ， s 波和 p 波的反射系数和透射系数分别为sr、pr和st、pt。试利用菲涅耳公式证明（1） ss rr ； （2） pp rr ； （3） sss t t； （4） ppp t t（ p 为 p 波的透射比， s 为 s 波的透射比） 。 解： 1122 1122 11222211 11222211 121221 121212 coscos (1) coscos coscoscoscos coscoscoscos (2)1 2cossin2cossin2cossin 3, sin()sin()sin() s ss ss nn r nn nnnn rr nnnn tt 同（） （ ） 22 11221221 22 122112 22 2221 2 1112 4sincossincossincos4sincos sin ()sincossin () cos4sincos cossin () (4)3 ss s tt n t n 同（ ）略 9. 电矢量方向与入射面成 45 度角的一束线偏振光入射到两介质的界面上， 两介质的折射率 分别为 12 1,1.5nn，问：入射角 1 50度时，反射光电矢量的方位角（与入射面所成 1 n 2 n 1 2 )a 1 2 1 n 2 n )b 图 10-39 习题 8 图 2 n 工程光学习题解答 的角）？若 1 60度，反射光的方位角又为多少？ 解： 1 11 12 2 1212 1212 sin 150sin ()30.7 sin()() 0.335,0.057 sin()() 0.3350.335 ,0.057 80.33 (2)0 sp sp ssssppp s p s n n tg rr tg AAA Ar AAA Ar AA A tg A r （），由折射定律 入射光 由反射系数有 合振幅与入射面的夹角 同理.421,0.042 ()84.3 p s p r A arctg A 10. 光束入射到平行平面玻璃板上， 如果在上表面反射时发生全偏振， 试证明折射光在下表 面反射时亦发生全偏振。 证明：当入射角为布儒斯特角时，发生全偏振，反射光中只有s波 第一次反射时， 11312 ,90 , B n ntgn 玻 空 n 第二次反射时， 212 ,90 , B n n n 空 B 玻 ，tg=n 得证。亦可由, sp r r 求证. 11. 光束垂直入射到 45 度直角棱镜的一个侧面，并经斜面反射后由底二个侧面射出（见图 10-40） ，若入射光强为 0 I，求从棱镜透过的出射光强 I？设棱镜的折射率为 1.52，且不考 虑棱镜的吸收。 0 I I 图 10-40 习题 11 图 45 工程光学习题解答 解： 22 1 22 3 122 2 12 3 000 10.52 ()()0.0426 12.52 11 1.52 ()()0.0426 11 1.52 ,sin1.52 sin4590 1 1 0.042611 0.04260.917 n n n n IIII 经过第一面时，反射比为 经过第三面时，反射比为 经过第二面时，=45 在此面发生全反射，即 出射光强为（） （） 12. 一个光学系统由两片分离透镜组成，两透镜的折射率分别为 1.5 和 1.7，求此系统的反 射光能损失。如透镜表面镀上曾透膜，使表面反射比降为 0.01，问此系统的光能损失又为 多少？设光束以接近正入射通过各反射面。 解 22 22 2 34 1234 4 )()0.04 ()()0.04 0.067 11110.80220% 0.011 0.010.96,4% R RR RRRR 1 1 1 2 2 0 此系统有4个反射面，设光束正入射条件下，各面反射率为 n -11.5-1 R =( n +11.5+1 1 -1 n -1 1.5 1 n +1 +1 1.5 光能损失为（初始为I） ，损失 若反射比降为，则损失 13. 一半导体砷化镓发光管（见图 10-41） ，管芯 AB 为发光区，其直径3dmm。为了避 免全反射，发光管上部磨成半球形，以使内部发的光能够以最大投射比向外输送。要使发光 区边缘两点A和B的光不发生全反射， 半球的半径至少应取多少？(已知对发射的0.9nm 的光，砷化镓的折射率为 3.4) 。 A B 图 10-41 习题 13 图 工程光学习题解答 解： sin sin sin1sin sin 1 sin 3.4 1 sinsinsin 3.4 3.43.45.1 2 C R r R r R r AB R r cc R d Rrmm 设半球半径为 ，由正弦定理，管芯边缘发光的入射角 有 最大为，最小为0， 0 若时仍不能发生全反射，则内所有光均不会发生全反射 全反射角 14. 线偏振光在玻璃-空气界面上发生全反射，线偏振光的方位角45度，问线偏振光以 多大角度入射才能使反射光的 s 波和 p 波的相位差等于 45 度，设玻璃折射率1.5n 。 解： 22 11 2 1 222 2 11 4 1 24222 11 2 1 1 cossin 2sin cos(sin) 2sin 1sin1sin0 2 1 ,45sin0.64830.5842 1.5 1 53.6349.85arcsin41.81 1.5 C SP n tg n tg tgnn n 全反射时， 波与 波相位差为 ，且 将代入有或 或，而 上述答案均可 15. 线偏振光在 1 n和 2 n介质的界面发生全反射,线偏振光的方位角45度,证明当 2 2 1 cos 1 n n 时(是入射角),反射光波和波的相位差有最大植。式中 21 /nnn。 证明： 工程光学习题解答 2222 22 22 2 1 2222222 2 2 2 22222 2 cossincos1 cos 2sin1 cos ,cos 22 1 1 1 112 112 2 1 0, 1 1 1212 2 SP nn tg tgtgyx xxn y x xnxxnxxxxnx dy dx x dy dx xxnxxxxnx x 全反射时， 波与 波相位差为 若 最大，则最大，令 令则有 2 2 12 2 2 1 1 1 cos(), 1 n n n n 当时取最大 16. 圆柱形光纤（图 10-42）其纤芯和包层的折射率分别为 1 n和 2 n，且 1 n 2 n。 （1）证明入 射光的最大孔径角2u满足关系式 22 12 sin;unn（2） 若 12 1.62,1.52,nn求孔径角？ 解： 22 12 2 2 11 22 12 12 0 22 12 1sin,sincos sin sin 211.62, 21.52 22arcsin68.2 cc nnn nn n unn n nn unn 若 17. 已知硅试样的相对介电常数 0 12 ，电导率 11 2.cm ，证明当电磁波的频率 u c 2 n 1 n 图 10-42 习题 16 图 工程光学习题解答 9 10 HZ时， 硅试样具有良导体作用。 计算 6 10 HZ时电磁波对这种试样的穿透深度。 解： 9 7 2 9 7 2 2 36 10 1 2 210 4 10 2 0.356 24102 Hz C Hz m 0 当时，介质可看作良导体 对于硅 时，硅具有良导体作用 2 穿透深度x = 18. 铝在50nm时，有1.5n ，3.2nk ，试求正入射时的反射比和相位变化。 解： 2 2 2 22 22 2 12 222222 221 11 2 1.53.21 2 1.5 0.636 1.53.212 1.5112 22 1 3.2 0.577 1.53.21 29.12 nkn nkn n n k tg nn kn 正入射时 19. 两 束 振 动 方 向 相 同 的 单 色 光 波 在 空 间 某 一 点 产 生 的 光 振 动 分 别 表 示 为 111 cos()Eat和 222 cos()Eat， 若 15 210 HZ， 1 6 /av m， 2 8 /av m， 1 0a ， 2 /2a，求合振动的表示式。 解： 121122 222 121212 1122 1122 15 coscoscos 2cos10 / sinsin4 coscos3 10cos 53.13210 EEEatatAt Aaaa av m aa tg aa Et 合振动 其中 20. 利用波的复数表达式求两个波 1 cos()Eakxt和 2 cos()Eakxt 的合成波。 解： 12 2 exp 12exp exp2sincossin 2 sinsin i ti t i EE Eai kx EEEai kx aikx eeatkxi akx 1 与的复数表达式为 E =aexpi kx+ t t aexpi kx+ tt t 取实部Re Et 工程光学习题解答 21. 一束沿z方向传播的椭圆偏振光表 00 ( , )cos()cos() 4 E z tx Akzty Akzt ， 试求偏振椭圆的方位角和椭圆长半轴及短半轴大小。 解： 12 22 12 12 2 2 1 12 1, 2, 1, 2, 44 2 2cos,290 ,45 22 sin2sin2sin 21 1.31 ,0.54 ,211 aA aAkzkz a a tg aa AA tg tg A tg A AA AAtg 22222 1212 由题知 方位角即 设长短半轴分别为 ， ，则有 A +A =a +a =2A 求得其中略掉项 22. 有一菲涅耳棱体（见图 10-21） ，其折射率为 1.5，入射线偏振光的电矢量与入射面（即 图面）成 45 度角，求（1）棱体的顶角取多大时，能使从棱体射出圆偏振光？（2）若棱 体的折射率为 1.49，能否产生圆偏振光？ 解： 22 2 222 322 2 2 2 1 cossin 8sin 53 1550 13 2, 21sin 0 2 sinsin 2 sin 1 m n ctg n nn d tg d n n n 因为入射光的振动方向与入射面夹角为45 ，所以S波与P波的振幅 相同，所以只需两次全反射使S、P拨相位差为即可，那么每次反射 2 产生的相位差为 ，有tg 2 得或 对于固定的必定有极大值，将上式对 求导 得 存 2 11 0.4094 221.49 44.32, 4 m m n tgn n 在极大值， 不可能产生圆偏振光 23. 又旋圆偏振光以 50 度角入射到空气-玻璃界面（玻璃折射率为 1.5） ，试决定放射波和 工程光学习题解答 透射波的偏振状态。 解：入射为右旋圆偏振光，如图，可写为 cosEsat cossin 2 Epatat 若设1.5n 波 ，则布儒斯特角56 B ，所以反射光中 S 波与 P 波均存在。有 sin 2 sin ssssss pp Er Er Erat Epr Eprat Es比Ep落后 2 相位，且有 sp rr 反射光为左旋椭圆偏振光 对于透射光 cos cos 2 ss ppPp EstEst at Et Et at sp tt 投射光为右旋椭圆偏振光。 24. 确 定 其 正 交 分 量 由 下 面 两 式 表 示 的 光 波 的 偏 振 态 ： 00 5 ( , )cos(),( , )cos () 4 xy zz E z tx At Ez ty At cc 解：对于合成波有 1212 55 ,0, 44 aaA 方位角 12 22 12 23 2cos, 4 a a tg aa 又 2 sin2sin2sin21,(21 2 tg 略） 0tg 为右旋 又设长短轴为 12 ,A A 2 1 21 A A （1） 且有 222 12 2AAA （2） 12 1.71 ,0.29AA AA 工程光学习题解答 25. 真空中沿z方向传播的两个单色光波为 12 cos2 (),cos2() () zz Eavt Eavv t ，若 148 100/,610,10,avmHZHZ 试求合成波在0,1zzm和1.5zm各处的 强度随时间的变化关系。若两波频率差 8 3 10 HZ ，试求合成波振幅变化和强度变化 的空间周期。 解：令 1212 22 2,2,kk 则 111 cosEak zt 222 cosEak zt 则合成波强度 22 4cos mm Iatk z 其中 8 12 1 210 2 2 m rad 1 12 2 3 m kk km I 428 4 10 cos10 3 tz 0z 时 I 428 4 10 cos 10 3 t 1z 时 I 428 4 10 cos 10t 1.5z 时 I 428 4 10 cos 10 2 t 若 8 3 10 Hz 8 3 10 m rad 1 m km 14 212 10rad 61 4 10km 工程光学习题解答 2 coscos mm Eak ztkzt 8614 2 cos3 10cos 4 1012 10aztzz 空间周期为2m 22 4cos mm Iatk z 428 4 10 cos3 10zt 空间周期为1m 26. 试计算下列各情况的群速度：（1） 2 g （深水波，g为重力加速度） ；（2） 2 T （浅水波，T 为表面张力，为质量密度） 。 解：群速度 g dv vv d （1） 1 2 1 2 2 22 g dvv g vgv d （2） 13 22 2123 22 g TdvT vvv d 27. 试求图 10-43 所示的周期性矩形波的傅里叶级数表达式，并绘出其频谱图。 解：周期性矩形波为偶函数，所以0 n B 24 0 24 11 2 AE z dzdz 4 4 Z E(z) 图 10-43 习题 27 图 工程光学习题解答 24 24 222 coscossin 2 u n AE znkzdznkzdz n 即 1234 22 ,0,0AAAA 11 coscos3cos5cos7 2 f zkzkzkzkz 图略 28. 求图 10-44 所示周期性三角波的傅里叶分析表达式，并绘出其频谱图。 解：偶函数0 n B 22 0 0 2 12 4 AE z dzzdz 22 22 0 2 24 coscoscos1 u AE znkzdzznkzdzn n 即 4123 22 22 ,0,0 9 AAAA 222 211 coscos3cos5 435 f zkzkzkz 29. 试求图 10-45 所示的矩形脉冲的傅里叶变换，并绘出其频谱图。 E(Z) 2 2 Z 图 10-44 习题 28 图 -L L Z E(z) 1 图 10-45 习题 29 图 工程光学习题解答 解： 22 sin2 sin L ikzikz L L A kf z edzedzkLLc k 30. 试求图 10-46 所示的三角形脉冲的傅里叶变换。 解： cossin ikz A kf z ed