工程数学形成性考核册答案2014春.pdf

工程数学形成性考核册参考答案 工程数学形成性考核册参考答案 QQ：195764822 工程数学作业（一）答案（满分 100 分） 第 2 章 矩阵 （一）单项选择题（每小题 2 分，共 20 分） 设 aaa bbb ccc 123 123 123 2=，则 aaa ababab ccc 123 112233 123 232323=（D ） A. 4 B. 4 C. 6 D. 6 若 0001 000 0200 100 1 a a =，则（A ） a = A. 1 2 B. 1 C. 1 2 D. 1 乘积矩阵中元素c 11 24 103 521 23 =（C ） A. 1 B. 7 C. 10 D. 8 设A B,均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B） n A. ABAB+=+ 111 B. ()ABBA = 1 1 C. () D. ABAB+=+ 1111 ()ABA B = 11 设A B,均为阶方阵，nk 0且，则下列等式正确的是（D ） k 1 A. ABAB+=+ B. ABn A B= C. kAk A= D. = kAkA n () 下列结论正确的是（ A） A. 若是正交矩阵，则也是正交矩阵 AA1 B. 若A B,均为n阶对称矩阵，则也是对称矩阵 AB C. 若A B,均为n阶非零矩阵，则也是非零矩阵 AB D. 若A B,均为阶非零矩阵，则nAB 0 矩阵的伴随矩阵为（ C） 13 25 A. B. 13 25 13 25 C. D. 53 21 53 21 方阵可逆的充分必要条件是（B ） A A.A 0 B.A 0 C. A* 0 D. A* 0 设A B C,均为阶可逆矩阵，则(（D ） n)ACB= 1 1 2 1 A. B. ( ) BA C 11 B CA 11 C. D. () A CB 111 ()BCA 111 设A B C,均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ） n A. B. ()ABAABB+=+ 22 2 2 1 ()AB BBAB+=+ 2 C. () D. ()22 111 ABCCBA =22ABCC B A = （二）填空题（每小题 2 分，共 20 分） 210 140 001 = 7 111 11 111 x是关于x的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 若为矩阵，A34B为矩阵，切乘积25AC B 有意义，则C为 54 矩阵 二阶矩阵A = = 11 01 5 10 51 设，则()AB= = 12 40 34 120 314 ,AB+ = 815 360 设A B,均为 3 阶矩阵，且AB= 3，则=2AB 72 设A B,均为 3 阶矩阵，且AB= = 13,，则= 3 12 ()A B 3 若为正交矩阵，则A a = 1 01 a = 0 矩阵的秩为 212 402 033 2 设是两个可逆矩阵，则AA 1,2 AO OA 1 2 1 = 1 2 1 1 AO OA （三）解答题（每小题 8 分，共 48 分） 设， 求ABC= = = 12 35 11 43 54 31 ,AB+； AC+； 23AC+； AB+5； ； ( AB )AB C 答案：答案： =+ 81 30 BA =+ 40 66 CA =+ 73 1617 32CA =+ 012 2226 5BA = 1223 77 AB = 80151 2156 )(CAB 设，求ABC= = = 121 012 103 211 114 321 002 ,ACBC+ 解解： = =+=+ 1022 1046 200 123 411 102 420 )(CBABCAC 已知，求满足方程32AB= = 310 121 342 102 111 211 ,AXB=中的X 解解：Q32AXB= = = 2 5 2 11 2 7 1 2 5 1 1 2 3 4 5117 252 238 2 1 )3( 2 1 BAX 写出 4 阶行列式 1020 1436 0253 3110 中元素a的代数余子式，并求其值 a 4142 , 答案答案：0 352 634 020 ) 1( 14 41 = = + a 45 350 631 021 ) 1( 24 42 = = + a 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵： ； ； 122 212 221 1234 2312 1111 1026 1000 1100 1110 1111 解：（1） = + + + + + + 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 100 010 001 9 1 9 2 9 2 0 3 1 3 2 0 3 2 3 1 100 210 201 122 012 0 3 2 3 1 900 630 201 102 012 001 360 630 221 100 010 001 122 212 221 | 23 13 3 2 32 12 31 21 2 2 9 1 3 1 2 3 2 2 2 rr rr r r rr rr rr rr IA = 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 9 2 9 2 9 2 9 1 1 A 3 （2）(过程略) (3) = 3514 1201 1320517 1726622 1 A = 1100 0110 0011 0001 1 A 求矩阵的秩 1011011 1101100 1012101 2113201 解解： + + + + 0000000 0111000 1110110 1101101 0111000 0111000 1110110 1101101 1221110 0111000 1110110 1101101 1023112 1012101 0011011 1101101 43 4241 31 21 2 rr rrrr rr rr 3)(=AR （四）证明题（每小题 4 分，共 12 分） 对任意方阵，试证AAA+是对称矩阵 证明：证明： ) () (AAAAAAAA+=+=+=+ AA+是对称矩阵 若是阶方阵，且AnAAI =，试证A = 1或1 证明证明：Q 是n阶方阵，且AAAI = 1 2 =IAAAAA A = 1或1=A 若是正交矩阵，试证AA也是正交矩阵 证明：证明：Q 是正交矩阵 A AA= 1 )()()( 111 = AAAA 即A是正交矩阵 4 工程数学作业（第二次）(满分 100 分) 第 3 章 线性方程组 （一）单项选择题(每小题 2 分，共 16 分) 5 1 用消元法得的解为（C ） xxx xx x 123 23 3 24 0 2 += += = x x x 1 2 3 A. , B. ,1 02,7 22 C. , D. ,11 22,1122 线性方程组（B ） xxx xx xx 123 13 23 23 6 33 += = += 2 4 A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解 向量组的秩为（ A） 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 1 3 0 4 , A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 设向量组为，则（B ）是极大无关组 1234 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 = = = = , A. 1,2 B. 12 , 3 C. 12 , 4 D. 1 与AA分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D） A. 秩( )秩A =()A B. 秩( )A ()A D. 秩( )A =秩()A 1 若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ） A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 以下结论正确的是（D ） A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D. 齐次线性方程组一定有解 若向量组 12 ,L s线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出 A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量 9设 A，为阶矩阵，n既是又是的特征值，x既是又是的属于的特征向量，则结论（ ） 成立 是 AB 的特征值 是 A+B 的特征值 是 AB 的特征值 x是 A+B 的属于的特征向量 10设，为阶矩阵，若等式（ ）成立，则称和相似 n BAAB = ABAB= ) (BPAP= 1 BPPA= （二）填空题(每小题 2 分，共 16 分) 当= 时，齐次线性方程组有非零解 xx xx 12 12 0 0 += += 向量组线性 12 0 0 01 1 1=, , 相关 向量组的秩是 1 2 31 2 01 0 00 0 0, 设齐次线性方程组 112233 0xxx+=的系数行列式 123 0=，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量 12 , 3是线性 相关 的 123 1 00 10 0=,的极大线性无关组是 21, 向量组 向量组 12 ,L s的秩与矩阵 的秩 12 ,L s 相同 设线性方程组中有5个未知量， 且秩AX = 0( )A = 3， 则其基础解系中线性无关的解向量有 个 设线性方程组AXb=有解，是它的一个特解，且X0AX = 0的基础解系为，则XX 1, AXb 2 =的通解 为 22110 XkXkX+ 9若是的特征值，则是方程0= AI 的根 10若矩阵满足AA= 1 ，则称为正交矩阵 （三）解答题(第 1 小题 9 分，其余每小题 11 分) 1用消元法解线性方程组 xxxx xxxx xxxx xxxx 1234 1234 1234 1234 326 3850 24 43 = += += += 12 2 解：解： = + + + + + + 26121000 90392700 188710 48231901 84310 01850 188710 61231 23141 121412 05183 61231 41 32 12 41 31 21 5 3 2 3 rr rr rr rr rr rr A + + + + 3311000 41100 4615010 12442001 136500 41100 188710 48231901 136500 123300 188710 48231901 43 23 13 34 34 5 7 19 3 1 2 1 3 rr rr rr rr rr + + + 31000 10100 10010 20001 31000 41100 4615010 12442001 34 24 14 4 15 42 11 1 rr rr rr r 方程组解为 = = = = 3 1 1 2 4 3 2 1 x x x x 设有线性方程组 6 11 11 11 1 2 = x y z 为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解? 解：解： + = + + + 2 2 32 2 22 2 )1)(1 ()1)(2(00 )1 (110 11 1110 110 11 111 11 11 11 11 111 32 31 21 31 rr rr rr rr A 当1且2时，3)()(=ARAR，方程组有唯一解 当1=时，1)()(=ARAR，方程组有无穷多解 判断向量能否由向量组 12 , 3线性表出，若能，写出一种表出方式其中 = = = = 8 3 7 10 2 7 1 3 3 5 0 2 5 6 3 1 123 , 解解：向量能否由向量组 321 ,线性表出，当且仅当方程组=+ 332211 xxx有解 这里 = 571000 1171000 41310 7301 10123 7301 3657 8532 , 321 A )()(ARAR 方程组无解 不能由向量 321 ,线性表出 计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关 1234 1 1 2 3 4 3 7 8 9 13 1 3 0 3 3 1 9 6 3 6 = = = = , 解解： = 0000 0000 18000 2110 1131 63134 3393 6082 9371 1131 , 4321 该向量组线性相关 求齐次线性方程组 7 8 0 0 0= xxxx xxxx xxxx xxx 1234 1234 1234 124 32 523 11250 354 += += += + 的一个基础解系 解：解： = + + + + + + 3000 0000 73140 2 1 14 5 01 103140 73140 73140 2131 4053 52111 3215 2131 42 32 12 41 31 2114 3 3 5 rr rr rr rr rr rr A + + 0000 1000 0 14 3 10 0 14 5 01 0000 1000 2 1 14 3 10 2 1 14 5 01 0000 3000 2 1 14 3 10 2 1 14 5 01 23 13 3 43 2 2 1 2 1 3 1 14 1 rr rr r rr r 方程组的一般解为 = = = 0 14 3 14 5 4 32 31 x xx xx 令1 3 =x，得基础解系 = 1 0 14 3 14 5 求下列线性方程组的全部解 xxxx xxxx xxx xxxx 1234 1234 124 1234 5231 342 94 536 += += = += 1 5 17 1 解：解： = + + + + + + 00000 00000 2872140 1 2 1 7 9 01 56144280 2872140 2872140 113251 11635 174091 52413 113251 42 32 12 41 31 21 2 14 5 5 3 rr rr rr rr rr rr A 00000 00000 2 2 1 7 1 10 1 2 1 7 9 01 2 14 1 r 方程组一般解为 = += 2 2 1 7 1 1 2 1 9 7 432 431 xxx xxx 令，这里，为任意常数，得方程组通解 13 kx= 24 kx= 1 k 2 k + + = + = 0 0 2 1 1 0 2 1 2 1 0 1 7 1 9 7 2 2 1 7 1 1 2 1 9 7 21 2 1 21 21 4 3 2 1 kk k k kk kk x x x x 试证：任一维向量= 4321 ,aaaa都可由向量组 = 0 0 0 1 1 ， = 0 0 1 1 2 = 0 1 1 1 3 = 1 1 1 1 4 线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式 证明：证明： = 0 0 0 1 1 = 0 0 1 0 12 = 0 1 0 0 23 = 1 0 0 0 34 任一维向量可唯一表示为 )()()( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 344233122114321 4 3 2 1 += + + + = =aaaaaaaa a a a a 44343232121 )()()(aaaaaaa+= 试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解 证明：证明：设BAX=为含个未知量的线性方程组 n 该方程组有解，即nARAR=)()( 从而BAX=有唯一解当且仅当nAR=)( 而相应齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是0=AXnAR=)( BAX=有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组0=AX只有零解 9设是可逆矩阵的特征值，且0，试证： 1 是矩阵的特征值 1 A 证明：证明：Q是可逆矩阵的特征值 存在向量，使=A = 1111 )()()(AAAAAAI 1 1 = A 即 1 是矩阵的特征值 1 A 10用配方法将二次型化为标准型 43324221 2 4 2 3 2 2 2 1 2222xxxxxxxxxxxxf+= 解：解： 42 2 4423 2 3 2 21433242 2 4 2 3 2 21 2)(2)(222)(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxf+=+= 2 2 2 423 2 21 )()(xxxxxx+= 令， 211 xxy+= 4232 xxxy+=， 23 xy=， 44 yx= 9 即 = += = = 44 4323 32 311 yx yyyx yx yyx 则将二次型化为标准型 2 3 2 2 2 1 yyyf+= 10 工程数学作业（第三次）(满分 100 分) 第 4 章 随机事件与概率 （一）单项选择题 A B,为两个事件，则（ B）成立 A. ()ABBA+= B. ()ABBA+ C. ()ABBA+= D. ()ABBA+ 如果（ C）成立，则事件与AB互为对立事件 A. B. AB = ABU= C. 且 D. 与AB = ABU=AB互为对立事件 10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券，每人购买 1 张，则前 3 个购买者中恰有 1 人中奖的概率为（D ） A. B. 03 C. 07C10 32 070303 2 . D. 30703 2 4. 对于事件A B,，命题（C ）是正确的 A. 如果A B,互不相容，则A B,互不相容 B. 如果AB，则AB C. 如果A B,对立，则A B,对立 D. 如果A B,相容，则A B,相容 某随机试验的成功率为,则在 3 次重复试验中至少失败 1 次的概率为（D ） ) 10( 0 解：解： 8164. 019082. 021)33. 1 (2)33. 1()33. 1 ()33. 1 2 . 0 1 33. 1() 8 . 12 . 0 (= X PXP 10.设是独立同分布的随机变量，已知，设XXXn 12 ,LE XD X(),() 11 2 =X n Xi i n = = 1 1 ，求 E XD X(),() 解：解：)()()( 1 )( 1 ) 1 ()( 2121 1 nn n i i XEXEXE n XXXE n X n EXE+=+= = =n n 1 )()()( 1 )( 1 ) 1 ()( 21 2 21 2 1 nn n i i XDXDXD n XXXD n X n DXD+=+= = 22 2 11 n n n = 13 工程数学作业（第四次） 第 6 章 统计推断 （一）单项选择题 设是来自正态总体（均未知）的样本，则（A）是统计量 xxxn 12 ,LN( ,) 2 , 2 A. B. x1x1+ C. x1 2 2 D. x1 设是来自正态总体（均未知）的样本，