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泛函分析习题及参考答案 一、在 2 R中定义如下三种距离： 2 1212 ( ,),(,)xx xyy yR=， 22 11122 ( , )()()d x yxyxy=+， 21122 ( , )max,dx yxyxy=， 31122 ( , )dx yxyxy=+，试证： 212 2ddd， 313 2 2 ddd， 232 2ddd， 从而这三种距离诱导出的极限是等价的。 二、设),(yxd为空间X上的距离，试证： ),(1 ),( ),( xyd xyd xyd + =也是X上的距离。 证明：显然, 0),( yxd并且yxyxdyxd=0),(0),( 。 再者，),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),( yxd yxd yxd xyd xyd xyd= + = + =； 最后，由 tt t + = +1 1 1 1 的单调增加性及),(),(),(yzdzxdyxd+，可得 ),(),(1 ),( ),(),(1 ),( ),(),(1 ),(),( ),(1 ),( ),( yzdzxd yzd yzdzxd zxd yzdzxd yzdzxd yxd yxd yxd + + + = + + + = ),( ),( ),(1 ),( ),(1 ),( yzdzxd yzd yzd zxd zxd += + + + 。 三、设1p ， 1 ( )( ) (,) i nnp n xl=?，?, 2 , 1=n， 1 ( ,) p i xl=?，则n 时， 1 ( ) 1 (, )0 p p n nii i d xx = = 的充要条件为) 1 (n 时， ( )n ii ，1,2,i =?； )2(0 ，存在0N ，使得 ( ) 1 p np i i N =+ ，存在 1 0N ，使得 1 1 ( ) 2 p p i i N =+ 时， ( ) 1 ( ) 2 p np ii i = 成立。 对于 1 1,2,nN=?，存在 2 0N， 2 ( ) 1 p np i i N =+ ，存在0K ，使得 ( ) 1 ( ) 2 p np i i K =+ N，使得Nn 时， ( ) 1 K p np ii i = ， )( )()( xxE p n E p n n dtxxdttxtx )(xxEm n p ，?, 2 , 1=n， 令n， 可得0)(xxEm n 。 即)(txn 依测度收敛于)(tx。 由)(tx的积分绝对连续性可知，对任何0，存在0 1 ，使得Ee， 1 ， 存在0N， 使得Nn 时，使Ee ， 2 ，令)()(=xxEE nn ，则0)( n mE。由此可知， 对任何0，存在0N，使得Nn 时，存在0，使得Ee ，存在0N，使得Nn 时，存在0N，使得Nn 时， 1 (, )(1) p n d xxba+， 即)(txn收敛于)(tx。 五、设B是度量空间X中闭集，试证必有一列开集?, 21n OOO，包含B，并且 = = 1n n OB。 证明： 任取?, 2 , 1, 1 =n n n ， 令 Bx nn xO =)(， 则 n OB ， 并且 n O为开集), 2 , 1(?=n。 任取 = 1n n Ox， 则存在Bxn， 使得 n xxd n 1 ),(FxdFx，0),(, 1222 FxdFx。 令 2 ),( , 2 ),( 12 2 21 1 FxdFxd =， 2211 )(, )( 222111 FxFx xGxG =,则 21 GG，分别为包 含 21 FF，的开集。假设 210 GGx，则 211220110 ,),(,),(FxFxxxdxxd和子列 k n xX，使得 0 (,) k n d TxTx。 令 0 ( ,)Fy d y Tx=，则 k n TxF，并且F为Y中的闭集，从而FT 1 是X中 的闭集。 由 1 k n xT F , k n xx可得， 1 xT F ， 即TxF， 由此可得 0 0(,)0d Tx Tx=， 这一矛盾说明， n TxTx。 十、试证： p l) 1(p是完备的距离空间。 证明：对于任何基本列 p n xl： 1 ( )( )( ) 2 (,) i nnn n x=?，?, 2 , 1=n，有0 ， 存在0N ，,m nN时， ( )() 1 p nmp ii i = ， 2 2 11 (,)( )( ) nmnm d xxx txt dt mn = ， 由此可知， n x为( , , )C a b d 中的基本点列。 若 n x在( , , )C a b d中收敛，则存在( ) , x tC a b，使得 2 2 (, )( )( )0 nn d xxx tx t dt = ，从而 1 1 2 2 1( )1( )0 n n x t dtx t dt + 。 由此可得，(0 )1x = ，(0 )1x + =，这与( ) , x tC a b矛盾。因此 n x在( , , )C a b d中 不收敛，从而 , C a b在积分平均收敛意义下是不完备的。 十二、 设)(xf是R上的可微函数， 并且1)(= Axxdx，则),(),( 2 b，使得 21 xbx成立，则对每一个自然数n，存在Xxn，使 得 21 nn xnx，从而 nx x n n 1 2 1 b，使得对任何Xx， 21 xbx成立。 同理可证， 存在0 a ， 使得 12 xax 。 令 a a = 1 ， 则0a， 并且对任何Xx， 成立着 12 xxa。 十六、设?, 2 , 1, 0, 0,=nxxXxx nn ，并且nxxn,，则 x x x x n n 。 证明：由xxn及xxxx nn （或范数的连续性）,可得xxn。 由xxxxxx xxxx xxxx x x x x nn nn nn n n + = =)()( 1 + nxxxxxx xx nn n , 0)( 1 ， 可得 x x x x n n 。 十七、设?， 21 XX是一列Banach空间，?, 21n xxxx =是一列元素，其中 nn Xx ，?, 2 , 1=n，并且 = , 0, 0时 时， xx i)( ，从而ixx i , )( ，并且 = = = 1 1 )( 1 1 )()( n p p n i n n p p n xxxx+ +。 由二次型理论可知，() () ()()() 1 11 2 22 22 ()() T TTT max TxAxAxxA A xA Ax=，同时 存在 0 n xR， 0 2 1x=，使得 () 12 0 2 () T max TxA A=。 由此可知，T为有界线性算子，并且 () 12 2 () T max TA A=。 十九、试求 11，C上线性泛函 = 0 1 1 0 )()()(dttxdttxxf的范数。 解：由 =+= 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 )()()()()()(dttxdttxdttxdttxdttxxf 1 , 1,2)(max2 11 = Cxxtx t 可得2f。 取 = 1 , 1 , 1 1 , 1 , 1 , 1, 1 )( n nn nt n txn，则?, 2 , 1, 1,1 , 1=nxCx nn ，并且 =+= n n n n n n n dtdtntdtntdtxf 1 0 1 1 1 1 0 1 , 2 , 1, 1 2) 1()()(1)(?， 从而?, 2 , 1, 1 2)(=n n xff n 。 由此可得2f，从而2=f。 二十、设无穷矩阵() ij a(?, 2 , 1,=ji)，满足） 。 对?, 1, 1 00 +=kkk k ，存在自然数 k i，使得0 1 1 = k Ma j jik 。 令),sgn,(sgn 1 ? jiik kk aax =，则 lxk，并且?, 1 0 kkxk=。 由此可得),sgn,( 1 ? ji j ijk k aaTx= = ， = = = 11 1 sgnsgnsup j jiji j jiij i k kkk aaaaTx ?, 2 , 1, 1 1 = = k k Ma j jik 。从而?, 1 0 kk k MTxT k =，即有MT 。因 而MT =。 二十一、设X是赋范线性空间，Z是X的线性子空间，Xx 0 ，又0),( 0 Zxd，试证， 存在 Xf， 满足条件： （1） 当Zx时，0)(=xf； （2）),()( 00 Zxdxf=； （3）1=f。 证明： 设KkZzzkxG+=, 0 ， 对于任何),()(, 00 ZxdkxFGzkxx=+=， 则F 为X的子空间G上的线性泛函，),()( 00 ZxdxF=，并且Zx时，0)(=xF。 0k时，x k z xkZxdkzxkFxF=+=+=)(),()()( 000 ，即有1F。 设 Zzn，使得nZxdzx n ),( 00 ，则=)()(),( 000n zxFxFZxd n zxF 0 。令n，可得),(),( 00 ZxdFZxd，即1F。因此1=F。 由Banach延拓定理，可得存在 Xf，满足1),()(, 0)( 00 =fZxdxfZf。 二十二、设X是线性空间， 1 x和 2 x是X上两个范数，若X按 1 x及 2 x都是完备的， 并且由点列 n x按 1 x收敛于 0，必有按 2 x收敛于 0，试证：存在正数ba,，使 121 xbxxa。 证明：记Banach空间),(),( 21 xXxX分别为FE,，E到F上的恒等算子为I，则 xxn即0 1 xxn时，0 22 =xxIxIx nn ， 即IxIxn， 从而I为E到F 上的连续线性算子。因此存在正常数b，使得 12 xbx。由逆算子定理，可得 1 I为F 到E上的有界线性算子，从而存在正常数a，使得 2 1 1 1 xxIaxa= 。 因此存在正常数a、b，使得 121 xbxxa。 二十三、设)(YXBTn), 2 , 1(?=n，其中X是Banach空间，Y是赋范线性空间， 若对于每个Xx，xTn都收敛，令xTTx n n = lim，试证：T是X到Y中有界线性算子， 并且 n n TT lim。 证明：由已知，对于每个Xx，xTn收敛，从而有界。由共鸣定理可知， n T有界， 即存在0M，使得MTn。 由TyTxyTxTyxTyxT n n n n n n +=+=+=+ limlim)(lim)(， 可知T是X到Y中的线性算子。 对于任何Xx，xTxTxTxTTx n n n n n n n n = lim)(limlimlim，即有 n n TT lim。 二十四、任取内积空间X中一点y，对于任意xX，令( ),f xx y= + = 可知，( )f x为X上有界线性泛函，并且 fy。 不妨设0y ，令 y x y =，则1x =，并且( )f xy=。 由此可得，fy，从而fy=。 二十五、设 n x是内积空间X中点列，若xxn)(n，并且对于一切Xy，有 = + ， 12 ,0x x=， 即 2 0x=， 1 xxF=， 因此()FF 。 （或：由 1 ()xFF 可知， 12 ()0xxxFF =，即 1 xxF=，因此 ()FF 。 ） 由此可知，()FM 。 综上所述，()M 是X中包含M的最小闭子空间。 二十九、试证：数域K上内积空间X中向量yx,垂直的充要条件是对一切数K，成立 xyx+。 充分性证明：由xyx+，可得= ，xX。 证明：设 12 , n Mspan e ee=?，则M为X中完备子空间。 由题意知，对于任何xX，xPxy=+，其中PxM，yM ，从而 12 , n ye ee?。 设 1 n i i i Pxce = =，由 12 , n e eey?可得