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文档简介

1 利用球面坐标计算三重积分 小结 8.3 三 重 积 分(2) 利用柱面坐标计算三重积分 一、利用柱面坐标计算三重积分 规定： 柱面坐标与直角坐 标的关系为 如图，三坐标面分别为 圆柱面； 半平面； 平 面 如图，柱面坐标系 中的体积元素为 通常是先积再积后积 将三重积分化为三次积分 解 知交线为 解 所围成的立体如图， 所围成立体的投影区域如图， 当被积函数是 积分域由圆柱面 (或一部分)、锥面、抛物面 用所围成的.柱面坐标计算三重积分较方便. 解 积分域用柱坐标表示为 原式 例 所围成. 其中由半圆柱面 解 如先对z积分 其中是由锥面 例 与平面 所围成的锥台体. 柱面坐标 可看出如先对z积分,(积不出来).将遇到积分 最后对z积分.这里应先对 积分, 曲面 之内及曲面 之外所围成的立体的体积D 解 V=2V1, 提示 锥面 被圆柱面 所截,求锥面下方、 xOy面上方、圆柱内的区域V 的体积. V1为第一卦限部分的体积.柱坐标 正方向间的夹角为 二. 利用球面坐标计算三重分 设M(x, y, z)为空间内一点, 向xOy平面投影, 称为点M的球面坐标. 规定： 如图，三坐标面分别为 圆锥面； 球 面； 半平面 球面坐标与直角坐标的关系为 如图， 体积元素为 球面坐标下的体积元素 半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及+d. 区域由六个坐标面围成： 化为三次积分, 通常是 解 当积分区域是球形域 或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面, 被积函数具有的形式时,用 球面坐标计算三重积分较简便. 或是球的一部分; )( 222 zyxf+ 解积分域关于三个坐标面都对称， 被积函数是 的奇函数, 解 解法1 解法2 解法3 （1） 柱面坐标的体积元素 （2） 球面坐标的体积元素 （3） 对称性简化运算 三重积分换元法 柱面坐标 球面坐标 三、小结 思考题是非题 非因为被积函数 的积分范围是 整个球体而非球表面. 作 业 习题8-3 (
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